∫∫∫[V]dxdydz/(1+x) について

質問

V:x+y+z<=1 x,y,z>=0

自分でやってみて、
I=1/2∫(x-1)^2/(x+1)dxまで導いたんですが、ここで詰まっております。
なんらかのテクニックを使うのでしょうか？ご助言ください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫∫∫[V]dxdydz/(1+x)
=∫[0→1]dx/(1+x)∫[0→1-x]dy∫[0→1-x-y]dz
=∫[0→1]dx/(1+x)∫[0→1-x](1-x-y)dy
=∫[0→1]dx/(1+x)[y-yx-y^2/2][y:0→1-x]
=∫[0→1]dx/(1+x)[1-x-x(1-x)-(1-x)^2/2]
=∫[0→1] (1/2)(1-x)^2/(1+x)dx
なるほど
>I=(1/2)∫[0→1] (x-1)^2/(x+1)dxまで導いた
になりますね。
この続きは部分分数分解ですね。

I=(1/2)∫[0→1] (x+1-2)^2/(x+1)dx
=(1/2)∫[0→1] {(x+1)^2-4(x+1)+4}/(x+1)dx
=(1/2)∫[0→1] {(x+1)-4+4/(x+1)}dx
=(1/2)[x^2/2 -3x+4log(x+1)][0→1]
=(1/2)[(1/2)-3+4log(2)]
=2log(2)-(5/4)

お礼

解答していただきありがとうございます

回答No.1

Tacosan

ふつ～に積分するだけなんだけど.... 何に困ってます?