S(x) = 2(1-|x|)^2 をどうやって導いたのでしょうか？

質問

S(x) = 2(1-|x|)^2 をどうやって導いたのでしょうか？

次の多重積分を計算せよ。
∫∫∫_V x dx dy dz
V: |x|+|y|+|z| <= 1

という問題で、答えが
「x座標がxでyz平面に並行な平面によるVの切り口 |y|+|z| <= 1-|x| の面積は S(x) = 2(1-|x|)^2 で、
積分は∫[-1,1] x S(x) dx に等しく、被積分関数は奇。よって0。」となっています。

S(x) = 2(1-|x|)^2 をどうやって導いたのでしょうか？
私の頭で想像している立体が正しければ、多分、
ピラミッドを上から見たときの正方形の一辺が √(2)(1-|x|) で
その正方形の面積なので二乗して 2(1-|x|)^2 になったのだと思っています。
でも、全然自信がありません。というのも、私が想像しているのは
「xy平面に並行な平面によるVの切り口」
で、この問題では
「yz平面に並行な平面によるVの切り口」
になっているからです。それなら三角形あるいは長方形になる気がします（これも自信なし）。

…ということで、S(x) = 2(1-|x|)^2 の導き方を教えて下さい。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

|y|+|z|<=1-|x|　のグラフは、

(y,z)=(±(1-|x|),0)、(0,±(1-|x|))
の4点を結んだ正方形（◇のような形状）
になります。

したがってその切り口の面積は、ご賢察の通り、
対角線の長さ=2(1-|x|)として、
面積S＝1/2×（対角線の長さ）^2=2(1-|x|)^2です。

お礼

ありがとうございます。
仰る通り、◇のような形状ですね。
対角線の長さから計算すればよかったんですね。
対角線が分かっているときの菱形の面積の出し方をすっかり忘れていました。
もっと勉強します。
ありがとうございました！

回答No.3

info22_

#２です。

図の添付が抜けましたのでUPしなおします。

回答No.2

info22_

Vの立体は添付図のような一辺√2の正８面体の内部です。

>私の頭で想像している立体が正しければ、多分、
>ピラミッドを上から見たときの正方形の一辺が √(2)(1-|x|) で
>その正方形の面積なので二乗して 2(1-|x|)^2 になったのだと思っています。

その考えでOKですね。

お礼

ありがとうございます。
私が質問した時点では、ピラミッドは上半分だけでした。
正八面体になっているだろうとは夢にも思いませんでした。
重ね重ね、ありがとうございました！