再CHAOSについて

質問

chaos発見時のヨークとりーの定理についての本かURLを教えて下さい。ロジステック方程式xn+1=axn(1-xn)のaの値1+√6、3.56,に言及して下さい。
或いは導き方も解説している本かURLを教えて下さい。

回答No.1

grothendieck

ロジスティック写像を
　f(x) = ax(1-x)
とします。f(x)=x より不動点を求めると、x=0, 1-(1/a) が不動点であることが分かります。不動点が安定であるためにはその点で接線の傾きの絶対値が１より小さくなければならないので
　-1 < f'(1 - 1/a) < 1
より不動点が安定である条件は
　1 < a < 3
であり、a=3 が最初の分岐点となります。次に２回合成関数を
　f2(x)=f(f(x))=a^2x(1-x)(1-ax(1-x))
としてf2(x)=xより不動点を求めると、x=0, 1-(1/a)の他に、
　q1,q2 = [ a+1±√{(a+1)(a-3)} ]/2a
が不動点となり、x=0, 1-(1/a)がf(x)の不動点なので、q1,q2は２周期点となります。(f(q1)=q2, f(q2)=q1)。
　f2'(q1) = f'(f(q1))f'(q1) = f'(q2)f'(q1) = f2'(q2)
　= 1 - (a+1)(a-3)
となるので、安定２周期点が存在する条件-1<f2'(qi)<1は、
　3 < a < 1+√6
となり、a=1+√6が４周期に分岐する点となります。カオスに遷移する点a=3.5699は数値計算により求められたようです。私が見た本の中では
　早間慧「カオス力学の基礎」(現代数学社)
が分かりやすいと思いました。