複素平面 と 実数Ｘ－Ｙ軸が混乱して困っています

質問

複素数にお詳しい方、どうぞ宜しくお願いします。数学の知識は高校生レベルです。
複素平面が、いわゆる実数のＸ－Ｙ軸と区別できるのはなぜですか？
実数Ｘ軸と「直交」する形で虚数軸が存在していて、複素数の値は「複素平面上」に点として表現される・・・と習いました。だけど、この複素数の仕組みを理解しようとすると、Ｘ軸－Ｙ軸が直交する普通の実数座標平面と複素平面が、同じものであるという理解になってしまう気がします。つまり、実数Ｙ軸＝虚数軸という論理になってしまうのではないでしょうか？間違いなく誤解していることは”自信”があるのですが、イメージで捉えると、どのように解釈になるのでしょうか？

回答No.6

ojisan7

X,Yの直交座標平面の特殊なもの、１つの応用例が複素平面です。

X,Y直交座標の応用例は日常の身の回りにあふれています。「横軸を何にし、縦軸を何にするか」ということです。たとえば、ある個人の年齢を横軸（X軸）とし、体重を縦軸（Y軸）とする場合などです。これはX,Y直交座標の座標平面ですよね。

複素平面もこれと同様です。横軸（X軸）を実数、縦軸（Y軸）を純虚数とした座標平面が複素平面ですが、これもX,Y直交座標の座標平面であることに変わりはありません。

なんか、複素平面という、X,Y直交座標とは異質の、特別な平面があるのではなく、年齢、体重と同様に、横軸を実数、縦軸を純虚数としただけのことです。

もっと分かりやすく言えば、複素数x+yiのｘを横軸に、ｙを縦軸に目盛れば、これが複素平面です。ｘ軸が実軸、ｙ軸が虚軸です。実軸、虚軸をｘ軸、ｙ軸といっても間違いではありません。

実軸と虚軸は直交するといわれますが、それは複素数を直交座標で表そうとするからです。理屈から言えば、別に斜交座標で表してもいいわけです。でも、習慣的に複素数は直交座標で表すことになっています。これは、単に約束事です。

お礼

回答ありがとうございます。日常、身のまわりの量で、「これだ！」というものが見つかれば良さそうですね。観察を続けてみたいと思います。

回答No.5

sanori

こんにちは。
私は、こんなイメージでとらえています。

１．
実数Ｘ－実数Ｙの平面と、複素平面との違いは、
前者が「２つの実数の関係」を平面の１点で表したり、ｙ＝ｆ（ｘ）という曲線で表しているのに対し、
後者は「１つの数」を軸上の１点で表すことができないから平面上に表している、
ということである。

２．
複素平面では１つの複素数を、原点Ｏを始点とした二次元の位置ベクトルとしてとらえることができる。
ｘ＋ｉｙ　⇔　ベクトル（ｘ，ｙ）

３．
２つの複素数の和は、２つの位置ベクトルの和と同じことである。
ｘ１＋ｉｙ１　＋　ｘ２＋ｉｙ２　＝　（ｘ１＋ｘ２）＋ｉ（ｙ１＋ｙ２）
（ｘ１、ｙ１）＋（ｘ２、ｙ２）＝（ｘ１＋ｘ２、ｙ１＋ｙ２）

４．
複素数Ｚに実数ａを掛け算することは、
位置ベクトルＺ（ｘ，ｙ）の長さを、方向を変えずにａ倍した
ベクトル（ａｘ，ａｙ）に相当する。

５．
複素数Ｚに絶対値が１の複素数を掛け算することは、
点Ｚ（ｘ，ｙ）を、原点Ｏ（０，０）からの距離を変えずに、Ｏの周りに回転することを表す。

特に、ｉを掛け算することは、ちょうど９０度の回転に相当する。
　２回かければ、ｉ^2＝－１　→　（－ｘ，－ｙ）　→　１８０度回転
　４回かければ、ｉ^4＝１　→　（ｘ，ｙ）　→　３６０度回転（元の位置）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

回答ありがとうございます。２回かければ、ｉ^2＝－１　→　（－ｘ，－ｙ）　→　１８０度回転　　４回かければ、ｉ^4＝１　→　（ｘ，ｙ）　→　３６０度回転（元の位置）・・・このあたりのイメージをきちんと整理できていないことが、問題の混乱（誤解）のもとになっているように感じました。ありがとうございます。

回答No.4

banakona

ご質問の内容と少しズレるし、限定的ではありますが、３次元で考えることにより、両者を共存させることもできます。

原点を通って複素平面に垂直なY軸を書きます。実軸とY軸を含む平面をX-Y平面とします。つまり実軸＝ｘ軸です。これだけでは面白くないので、次のようなことを考えます。

高校で、２次関数ｙ＝ｆ（ｘ）と2次方程式ｆ（ｘ）＝０の関係を習いましたよね？　放物線ｙ＝ｆ（ｘ）とｘ軸が交わる点がｆ（ｘ）＝０の解になる。例えば、2点で交わるときは２つの相異なる実数解、接するときは重解、交わらないときは虚数解を持つと。

ここで、「ｘ－Y平面」に書かれた放物線を、上記３次元空間に拡張します。
　まず、放物線を、その頂点を基準としてX-Y平面内で180度回転させた「第2の放物線」を更に描きます。すると、∪と∩が引っ付いたような形になります。なお、もともとの放物線を「第１の放物線」と呼ぶことにします。
　次に、第2の放物線のみを、「その対称軸の周り」に９０度回転させます。すると第2の放物線は、X-Y平面からはみでて、「拡張放物線」の全体がねじれたような形になります。

こうすると、「第１の放物線」がX軸（実軸）と交わる（「接する」も含む）ときは、X軸との交点が解となります。ここまでは高校で習ったのと同じです。
そして、交わらないときは、第２の放物線が「複素平面」と交わる位置が虚数解となります。
つまり、虚数解を含む全ての解を複素平面上に視覚的に表すことができるようになります。

お礼

回答ありがとうございます。うーん、なかなか空間的なイメージをそそる話ですね。ちょっと時間をおいて考えてみたいと思います。抽象的な話は、一度、具体的な物に置いて理解できてしまえば、すごく強力な知識になることを経験済みなので、非常に好奇心をくすぐられます。ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

それで良いんです。その二つは、ほぼ同じものです。
唯一の違いは、複素平面には掛け算が定義されており、
実二次元空間には掛け算がないだけです。
掛け算を定義して追加してやれば、同じになります。
距離位相も共通ですしね。

お礼

ありがとうございます。実数ではできなくても、複素数ならできること、そんなものが見つかればよいのですが。頑張ってみます。

回答No.2

koko_u_

>だけど、この複素数の仕組みを理解しようとすると、
>Ｘ軸－Ｙ軸が直交する普通の実数座標平面と複素平面が、
>同じものであるという理解になってしまう気がします。

非常に単純に言えば、その「平面」にのっかっている「構造」が異なるので
両者は区別されています。

単純な集合として考えれば、いずれも 2数のペアの集りなので同じですが、
数学ではそこに「距離」とか「加法」とか「乗法」とかを追加して考えることで
複雑な考察を行っています。

お礼

回答ありがとうございました。演算についても、距離とか重さとか、身近な量で確認できれば良いのですが。

回答No.1

info22

> 実数Ｙ軸＝虚数軸という論理になってしまうのではないでしょうか？
Y軸と虚数軸を重ねて考え、Y軸の値を虚数軸での虚数単位を除いた値（複素数の虚数部）に対応させて考えればいいですね。
つまり、XY座標系の座標（x,y)を複素（座標）平面のx+iy(iは虚数単位)に退行させればいいですね。
同じ平面上の点をXY座標平面では(x,y)で表し、複素平面上では同じ位置の点をx+iyで表すのです。
座標系で頭を切替えて考えればいいだけです。
慣れの問題です。

お礼

回答ありがとうございます。今まで、慣れ親しんできた実数の計算を、あえて、すべて複素数でやってみるという訓練も必要かもしれませんね。たとえば買い物や時間の計算など、日常の四則演算すべてを、複素数で・・・と言う具合に。