確率の問題です

質問

Ａ、Ｂの２人がテニスの試合を行う。各試合でＡ、Ｂが勝つ確率はそれぞれ3／4、１／4である。3勝を先にした方が優勝者になるとするときの確率
(1)Ａが3連勝して優勝する確率
(2)Ａが3勝1敗で優勝する確率
(3)Ａが優勝する確率
解答は(1)が567／1024、(2)が81／256、(3)459／512、です。解説がないため、どなたか教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

Grignard007 · ベストアンサー

試合の勝者をA、Bで表しますね

（１）では各勝者が、AAA（最初から普通に三連勝）のとき、BAAA（一戦目だけＢが勝つ）のとき、BBAAA（二戦目までＢが勝つ）のときの３通りがあります。
AAAのとき、(３/4）＾３で２７/６４
BAAAのとき、(１/4)*(3/4)^3で27/256
BBAAAのとき、(1/4)^2*(3/4)^3で27/1024
上のすべてを足すと567/1024になります

（２）ではBAAAかABAAかAABAですよね。
これは(1/4)*(3/4)^3*３で81/256になります。

（３）は、（１）＋（２）のうちBAAAを除いたもの＋Aが3勝2敗のうちBBAAAを除いたもの、ですよね。
3勝2敗のパターンはBBAAの並び替えの後Aを持ってくる場合の内、BBAAAの場合のみを除けばいいので
（１/4）^2*(3/4)^3*（4!/2*2－１）で135/1024
また、（２）からBAAAを除いたものは(1/4)*(3/4)^3*2で54/256です。
従って(567/1024)+(54/256)+(135/1024)で459/512になります。

確率のみを考えるのではなく、どのようなパターンでその事象が起こっているのかも考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。すごくよくわかりました。