確率の問題

質問

A,Bの二人が１個ずつさいころを投げ、両方とも奇数ならAが勝ち、それ以外の場合はBの勝ちとなるゲームを行う。先に３ゲーム勝った方が優勝とする。
（１）４ゲーム目でAの優勝が決まる確率
（２）４ゲーム目までにAが優勝する確率
（３）Aが優勝する確率

３問もあってずうずうしいのですがお答え願います。

回答No.3

noname#33817

補足です。
先ほどは通分がめんどうで…最終的な問題意の解答を保留してしまい申し訳ございませんでした。

計算ミスがなければ
（１）９／２５６
（２）１３／２５６
（３）５３／５１２
になると思うのですが、きれいな数値にならず不安です…

因みに、
Ａが「勝つ」確率は
さいころの目は偶数が３個、奇数が３個ありひとつのさいころを振って奇数が出る確率は３／６＝１／２
２つのさいころで両方奇数の目が出る確率は１／２（一つ目のさいころが奇数で）×１／２（二つ目のさいころも奇数）＝１／４
と出しています。
分かりにくかったらごめんなさい。

３Ｃ１、４Ｃ２というのは組み合わせのＣです。
３つのうち１つを選ぶ、４つのうち２つを選ぶという意味です。
例えばイの場合、Ｂが１ゲーム目に負ける場合と、２ゲーム目に負ける場合、３ゲーム目に負ける場合がありますよね。
だから全部で３通りの場合があるので、３Ｃ１（つまり３）を描ける必要があるかな、と思ったのですが…

回答No.2

suzune94

自分はサイコロの問題は毎回7×7マスの表を書いて解いていました。
一番左上を空白にし、そこのマスから右へ1・・・6、下へ1・・・6と書いた表です。
続いてそれぞれの場合を考えて表にAの勝ちかBの勝ちかを分かりやすく書いておきます。それによってAの勝率は(9/36)=1/4でありBの勝率は(27/36)=3/4と分かります。
(1)4ゲーム目でAが優勝するにはAが3回勝ち、Bが1回勝つ必要があります。よって、(1/4)×(1/4)×(1/4)×(3/4)=3/256

(2)４ゲーム目までにAが優勝するには2通りあります
(1)3ゲーム目でAが優勝
(2)4ゲーム目でAが優勝

(1)：Aが続けて3回勝てばよいので
(1/4)×(1/4)×(1/4)=1/64
(2)：(1)より3/256

両方の確率を足し(1)+(2)=(1/64)+(3/256)=(4/256)+(3/256)=7/256

(3)Aが優勝する確率
Aが優勝するには
(1)3連続Aが勝利
(2)2回Aが勝ち、Bが1回勝ち、その後Aが勝利
(3)2回Aが勝ち、Bが2回勝ち、その後Aが勝利
の3通り
(1)：(2)より1/64
(2)：(2)より3/256
(3)：(1/4)×(1/4)×(3/4)×(3/4)×(1/4)=9/1024

(1)+(2)+(3)=(1/64)+(3/256)+(9/1024)=(16/1024)+(12/1024)+(9/1024)
=37/1024

だと思います。なんか綺麗な数字でもないので違ってる予感が・・・すみません（´・ω・｀）

回答No.1

noname#33817

数学から離れて久しいので、間違いもあるかもしれませんが…

Ａが「勝つ」確率は１／２×１／２＝１／４
Ｂが「勝つ」確率は１－１／４＝３／４

Ａが「優勝」する場合は次の３通り。
ア．３連勝で３ゲーム目で優勝
イ．４ゲーム目
ウ．５ゲーム目
（３ゲーム先取なの６ゲーム目以降はありえません。）

ア．の確率は１／４×１／４×１／４＝１／６４
イ．の確率は（３ゲーム目までにＡが２勝、Ｂが１勝する確率）×（４ゲーム目でＡが勝つ確率）なので
（１／４×１／４×３／４×３Ｃ１）×１／４＝
（１／４×１／４×３／４×３）×１／４＝９／２５６
ウ．の確率は（４ゲーム目までにＡが２勝、Ｂが２勝する確率）×（５ゲーム目でＡが勝つ確率）なので
（１／４×１／４×３／４×３／４×４Ｃ２）×１／４＝２７／５１２

（１）はイ
（２）はア＋イ
（３）はア＋イ＋ウ
になると思います。
いかがでしょうか…

お礼

ありがとうございます。
解答と一致しました