数学で分からない問題があります

質問

この問題が解けません!!

空間内に４点 Ａ(0,0,0) Ｂ(2,1,1) Ｃ(-2,2,-4) Ｄ(1,2,-4) がある。

(1)∠ＢＡＣ＝Θとおくとき、cosΘの値と△ＡＢＣの面積を求めよ。

　 →　→
(2)ABとACの両方に垂直なベクトルを１つ求めよ。

(3)点Ｄから、３点Ａ、Ｂ、Ｃを含む平面に垂直な直線を引き、その交点をＥとするとき、線分ＤＥの長さを求めよ。

(4)四面体ＡＢＣＤの体積を求めよ。

この４題です。

数学の教師に
『ちょっと難しいかもなｗ』
と言われて出された宿題なので何としても解きたいのです。

乱文となりましたが、回答よろしくお願いします。

回答No.8

alice_44

脱字でした。「三重積」

お礼

お礼遅くなってごめんなさい(T^T)
回答ありがとうございます！
回答者様のご意見とても参考になります。

また僕の質問に回答していただけたら嬉しく思います！

ありがとうございました。

回答No.7

alice_44

逆ですよ。
解答として最速ではないが、
回答として読み所のあるものを書いたんです。

現在の高校カリキュラムの範囲は知りませんが、
出題の先生が「難しいかも」と言って出している
状況では、必要な「公式」が既習でないことは
前提です。しかし、出題されているということは、
より基本的な知識から導出できるのだろうと…

導出を理解した上で公式を使い、最速で処理する
という意味では、(2)で外積に少し触れましたが、
三重を使って体積を求め、振り返って高さを出す
のが簡潔。射影で高さを求めるというのは、
それの「公式の導出過程」なんです。

回答No.6

noname#182106

気を悪く、とかは大丈夫ですので。
どうも文脈を読み取ってくれませんね・・・。

公式を訳も分らず暗記して使えってことじゃないです。
ちゃんと自分で証明でき、完全に理解しているのは前提です。
そもそも、複数の解法を完全に理解してなきゃどれが最速かの判断はできないでしょう。

あなたの回答を見て、普通の子は「この問題はこうやればいいんだ、覚えよう。」
と丸暗記します。解き方を理解せずに覚えるという意味ではありません。
解法の選択として丸暗記するということです。

>A No.1 (3) に書いた計算過程が、「点と平面の距離の公式」の導出そのものなんです。
>基本事項から公式の導出を追って、その味わいを楽しんで欲しい。

ですから、それを回答（解答でなく）として説明しないとまったくその意図は伝わらない。
そういうのは「公式の証明」として説明すべきであって、解答中でやってもしかたないってことです。
解答例を1つ提示しただけで、回答になってないって言ってるんです。

例えば
「上記解答の～の部分は実は公式～の証明になっている。教科書にない公式なのでこうした。詳しくは***を見て下さい。便利なのでマスターしといてね。」
とか。解法の発想・背景まで含めて解説するのが回答です。

実際の指導では、
「点と直線の距離って覚えてる？」「実は同様に点と平面の距離の公式もあるんだよ。」
と公式を提示した上で
「平面の方程式と、直線のベクトル方程式からこうやって証明できるよ」
「何？そもそも平面の方程式なんて知らない？今は数IIで習わないんだったな。じゃあまずそこからやっとくか。」
みたいな感じになりますが。

それから、「平面の方程式」を習っていないという前提と言ってるでしょう・・・。
「点と平面の距離」については公式として使わないのに、「平面の方程式」はそのまま公式として使っているじゃないですか。
繰り返しますが、現行課程に（ベクトル方程式でない、数II・解析分野の）「空間における図形の方程式」はないんですよ。

上級者なら全部理解した上で公式として使えばいいけど、それでも正射影したほうが速い。
「このほうが速い」からこうしろと言ってるのではなく、それぞれの課程を頭の中でスキャンしてどっちが速いか判断しろと言ってるんです。

質問者が見てなさそうなのでもうやめます。

お礼

反応が遅くなってしまってごめんなさい(T^T)

数学というのはやはり難しいものなんですね。
解き方がいろいろあるために教え方も様々。
そういえば数学の先生もそのようかことを
授業中に遠い目をして言っていたことを思い出しました。

よりよい解答、解説、学習ポイント作りをしていただいてありがとうございました!!

回答者様のご意見とても参考になりました。

ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

お気を悪くなさらないでいただきたいのですが、
私は、単に「公式を覚えて短時間で解きなさい」
という指導が嫌いなだけです。
基本事項から公式の導出を追って、その味わいを
楽しんで欲しい。特に、高校生くらいなの人には。
私は、ただの数学好きのオジサンで、
指導する立場の人ではありませんから、
数学の楽しみを、センター試験のような
極端に易しいテストの効率に矮小化する考えは
持ちたくないのです。
先生って、たいへんですね。

回答No.4

noname#182106

質問者を置き去りにしてる訳ではないのですが・・・。

>E の座標を出す必要はありませんよ。
t を求めることができれば、線分 DE の長さも分かりますから。
→DE = t(p,q,r) で、p,q,r は既に求めてありますからね。
A No.1 (3) に書いた計算過程が、「点と平面の距離の公式」の
導出そのものなんです。

勿論それは承知しています。
現在数IIで空間の座標幾何はやっていないのでは？ということです。
たぶん球や平面の方程式を習っていない。
教科書では、ベクトル方程式からパラメータを消去する方法しか扱っていません。

「平面の方程式」・「点と平面の距離」を使っていいならそもそも公式に入れるだけなのでパラメータは不要です。
実際、センターIIBを30分で終わらせるくらいの生徒だと、平面の方程式を整理して公式に代入するのと、正射影ベクトルの長さを出すのとどっちが速いかを即座に判断してます。無駄な時間がかかることはしません。

そうでないなら「平面の方程式」も証明なしでは使えないのでは？という意味です。採点基準次第ですね。
勿論入試ではOKでしょうけど、数Bの問題集の問題だとして、出題者の意図する解答ではないのは間違いないです。
あくまでベクトルの練習問題ならば、平面のパラメータ表示と垂直条件ができていて欲しい、
そんなの余裕だよって生徒なら正射影ベクトルくらいは知ってるといいよ、ってことです。
そして理系の受験生ならば正射影して30秒でやれと。

以上はあくまで指導する側の考えですので、お気を悪くなさらないよう。

回答No.3

alice_44

E の座標を出す必要はありませんよ。
t を求めることができれば、線分 DE の長さも分かりますから。
→DE = t(p,q,r) で、p,q,r は既に求めてありますからね。
A No.1 (3) に書いた計算過程が、「点と平面の距離の公式」の
導出そのものなんです。

平面 ABC を方程式で書くか、
(→AE) = s(→AB) + u(→AC) とパラメータ表示するかは、
趣味の分かれるところでしょうね。

回答No.2

noname#182106

(3)について、現行課程では、空間における図形の方程式はやっていなかったような・・・。

出題者の意図する標準的な解答は、

(→AE) = s(→AB) + t(→AC) として、
(→DE)⊥(→AB), (→DE)⊥(→AC) を解く　ということですね。

受験レベルならば
(→DA) を(2)で求めたベクトル方向へ正射影して直接(→DE)を出すべきですけど。　
できる人は、こういうところで時間をかせぐわけです。

わざわざ底面の方程式を作るのなら、「点と平面の距離の公式」で十分です。
Eの座標は出す必要がないのですから。

回答No.1

alice_44

(1)
内積 (→AB)・(→AC) = |→AB| |→AC| cosΘ から
cosΘ の値が分かり、sinΘ も分かることになります。
△ABCの面積 = (1/2) |→AB| |→AC| sinΘ です。

(2)
外積を知っていれば、 (→AB)×(→AC) を計算するだけですが、
知らなければ、連立方程式
(→AB)・(p,q,r) = 0, (→AC)・(p,q,r) = 0 を解いて
比 p : q : r を求めましょう。

(3)
点 D を通り、３点 A, B, C を含む平面に垂直な直線の
パラメータ表示は、(→OD)+t(p,q,r) です。
（t がパラメータ、(p,q,r) は(2)の答え。）
３点 A, B, C を含む平面の方程式を作って、これを代入すると、
t を求めることができて、線分 DE の長さも分かります。

(4)
四面体ABCDの体積 = (1/3)(△ABCの面積)(線分 DE の長さ) です。

頑張ってください。(3)が山場ですかね。