三角関数の問題です

質問

三角関数の問題です。2点Ａ（0，8），Ｂ（0，9）を結ぶ線分をゴ―ルとして、直線y＝x上を移動している選手の位置をＰ（x，x）（x＞0）とする。この選手から見えるゴ―ルの角度∠ＡＰＢをθとするとき、次の問いに答えよ。
(1)tanθをxで表せ。
(2)θが最大となるときにシュ―トするとして、そのときの選手の位置の座標を求めよ。
ちなみに答えは、(1)tanθ＝x／2x^2ー17x＋72(2)（6，6）となってます。解答しかわからず、解き方がわからないので、どなたか教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞点Pからy軸に下ろした垂線の足をC(0,x)、
∠CPA=αとすると、
tan(α+θ)=(9-x)/x、tanα=(8-x)/x、
tan(α+θ)=(tanα+tanθ)/(1-tanαtanθ)だから
見易くするためtanα=A、tanθ=Bとすると、
(9-x)/x=(A+B)/(1-AB)、(9-x)(1-AB)=x(A+B)、
整理して、B={(A+1)x-9}/{(A-1)x-9A}
A=(8-x)/x、A+1=(8-x)/x+1=8/x、A-1=(8-2x)/xを
代入して、
tanθ={(8/x)x-9}/[{(8-2x)/x}x-9{(8-x)/x}]
=x/(2x^2-17x+72)・・・答
＞θが最大になるのはtanθが最大になるときだから、
tanθ=y(x)とおくと、y(x)=x/(2x^2-17x+72)
dy/dx={(2x^2-17x+72)-x(4x-17)}/(2x^2-17x+72)^2
=(-2x^2+72)/(2x^2-17x+72)^2
=-2(x+6)(x-6)/(2x^2-17x+72)^2
2x^2-17x+72=0の根の判別式＜0だから常に2x^2-17x+72＞0
が成り立つので、y(x)はx＞6で減少関数、-6＜x＜6で
増加関数となるので、x＞0の条件の下ではx=6でy(x)は
最大値(極大値)となる。よって、θが最大になるのはx=6の
ときとなるので、そのときの選手の位置の座標(x,x)は
(6,6)となる。

お礼

すごくよくわかりました。ご丁寧な回答ありがとうございました。