三角関数 違いが分からない・・・

質問

高3、女子です。
三角関数に関する質問です。
超基本的なことだと思いますが、
お答えください。
tanα－tanβとtan(α－β）って、違いますよね？
これって、何が違うんでしょうか?
例えば、2直線の角度を求めるときは、後者を使いますよね?
なんで前者は使えないんでしょうか?
教科書、チャートを見てもよくわからなかったので、
教えてください。

回答No.5

pitagorajr

実に興味が出た。tanαーtanβとは目の前にある非常に高いビルの壁にプロジェクターで映画を映写することを考える。映す場所をプロジェクタの角度を上げて高いところへ移動すると、画面のたての長さはtanαーtanβのようになる（ピントボケのない場合）。そこでまた興味が出た。その長さはレンズから画面の下端までの（水平ではない）距離にtan(α-β）をかけてもう一度なにかを掛けるとでるだろう。それを証明してみたい。tan(α-β）壁までのななめの距離に対する画像の見かけ上の長さ（下から見ると上下に長い画面も正方形に見える。）tanαーtanβとは壁までの水平距離に対する縦長に映っている画面の実際のたての長さ。

回答No.4

pyon1956

一般に関数y=f(x)で、同様のことがおこるのはf(x)が正比例、つまりy=ax（aは定数)の場合だけです。
２次関数y=x^2だって
a^2-b^2≠(a-b)^2

むしろ仰るようにできるほうが珍しいわけです。
でも正比例はわかりやすいわけで、ですから特別扱いして「線形性」ということばで表現します。
tanは無論正比例ではないのでそういうことになります。

補足

確かに違いますね！
この２つで迷うような問題って出るんでしょうか?
tanα－tanβを使う問題なんて、見たことないんですが、
どうでしょう？

回答No.3

j-mayol

tanの定義に戻って考えたらいいのではないですか？
tan(α-β）は（αーβ）度のtanの値つまり直線で言えば
x軸との角度が（αーβ）度の直線の傾き（変化の割合）を表します。
tanα-tanβはα度のtanの値とβ度のtanの値の差を表します。
図に描いて考えてみてください。両者が明らかに別物なのは分かるか
と思います。
イメージしにくいのでしたら、誤解を招くかも知れませんが、こういう
説明ではどうでしょうか？
tan(α-β）はα-βを先に計算した上でtanの計算を行ったもの。
tanα-tanβはtanαとtanβをそれぞれ先に計算した上で引いたもの。
計算順序が異なるのだから別のものと考えられる。

補足

後者のほうで考えたらなんとなくわかってきました。
あんまり大学受験ではこういう２つは気にしなくていいのでしょうか？

回答No.2

noname#22058

tanα=A, tanβ=Bとします。
tanの定義から、AもBも原点を通る直線の傾きを表わします。
したがって、tanα-tanβは2本の直線の傾きの差です。
どういう使い道があるかは、よくわかりません。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

NNori

例えばα＝２／３π　β＝１／３π と思ってください。
tanα－tanβ＝（-√３) - √３ = -２√３
tan(α－β）=tan(1/3π）＝√３
です。
tan してから引くのと、角度を引いてからtan するのでは雲泥の差がありますよね。

補足

ありがとうございマス!!!
確かにだいぶ違いますね。
でも、なんでそんな違いが起こるんでしょうか?

tanα－tanβとtan(α－β）って似てるのに・・・
tan(α－β）は、α－βの角度を求めるときによく使うと思うんですが、
tanα－tanβは何を表しているんでしょうか?