三角関数の問題なんですが…

質問

三角関数の問題なんですが…

問題文
座標平面上の直線y=2xをLとする。
原点Oと異なるL上の点Aを第一象限にとり、x軸に関してAと対象な点B，Lに関してBと対象な点をCとする。

問題は写真にあります。
よろしくお願いします。

回答No.4

muturajcp

A=(a,2a)
B=(a,-2a)
BからLへの垂直点を
D=(x,y)とすると
y=2x
a(x-a)+2a(y+2a)=0
x=-3a/5
y=-6a/5
Bと対称な点を
Cとすると
C=2D-B=((-6a/5)-a,(-12a/5)+2a)
=(-11a/5,-2a/5)
|AD|=√((a+(3a/5))^2+(2a+(6a/5))^2)
=8a/√5
|BD|=√((a+(3a/5))^2+(-2a+(6a/5))^2)
=4a/√5
△ABCの面積は|AD||BD|
=(32/5)a^2

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

おはようございます。

点Cを求めることを考えると、いろいろな方法があります。

(1) 直線：y＝ 2xは線分ACの垂直二等分線となるので、
「直線ACは、直線：y＝ 2xと直交する（傾きの関係）こと」と
「線分ACの中点は、直線：y＝ 2x上にあること」
を用いれば、点Cの座標を求めることができます。

(2) (1)を考えるのに、ベクトルを使う方法もあります。
直線：y＝ 2x上の点を点H(t, 2t)と表すことにします。
すると、
直交する条件から、AH→・(1, 2)＝ 0　（ベクトル(1, 2)は、直線：y＝ 2xの方向ベクトル）
まず、これから tの値（点Hの座標）が求まります。

次に、点Hが線分ACの中点となるので、AC→＝ 2* AH→となります。
これで点Cの座標を求めることができます。

(3) これは先の 2つとは違った見方をします。
次のような操作を考えます。
[1] 直線：y＝ 2xが x軸に一致するように、全体を時計回りに回転させる。
このとき、点Aは傾き 2に対応した角度だけ時計回りに回転移動する。

[2] 回転させて移動した点A 'に対して x軸に対称な点をとる（点A ''とする）。

[3] [1]と逆の操作をして、直線：y＝ 2xを元の位置に戻す。
このときの点A ''の移動したものが、点Cとなる。

おおまかにいえば、対称移動を「x軸」という分かりやすいところで実行しているということです。
（そのために、回転させて、また元に戻しているだけ）

直線：y＝ 2xが x軸となしている角度をθとおくと、tanθ＝ 2（傾き）となります。
この考え方を使うときは、三角関数の問題として扱うことになります。
結果は比較的簡単な形になるのですが、途中の計算は少々厄介です。

問題（宿題）自体はセンター対策問題のようなので、(1)か(2)の方法を用いるのが妥当だと思います。
（実戦における時間との勝負を考えれば）
2次試験でも数学が必要になるのであれば、上のそれぞれを一度考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

OKXavier

Cの求め方について。

C(x,y)とおく。
AOの傾きは、2
BCの傾きは、(-2a-y)/(a-x)
直線BCと直線AOは垂直だから、(-2a-y)/(a-x)=-1/2　‥(1)

BCの中点の座標は、((a+x)/2,(y-2a)/2)
この点は直線AO上にあるから、(y-2a)/2=(a+x)/2×2　‥(2)
(1)(2)をx,yについて解けばCの座標が求まりますよ。

「傾きが垂直になることと、中点が直線上にあることをつかい
連立方程式を立てて解く」これがポイントです。

面積は、超簡単です。三角関数など使いませんね。
ABの中点をHとし、BCの中点をMとすると、
△AOHの面積は、a×2a×1/2=a^2
△ABMの面積は、相似比の２乗を掛けて、a^2×(4a/(√5a))
△ABCの面積は、この２倍で求まる。

夏休み後にテストがあるのでしょうから考え方をしっかりと理解しておきましょう。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

B-juggler

写真は消えるんだ＞＜　こんばんは。

ｙ＝２ｘ　上に　点Ａはあるんでしょう？　点Ａの座標は　（ａ，２ａ）だよね。

点Ｂは　ｘ軸と対称な点だよね。　第４象限に来ているはずよね。　（ａ，－２ａ）

点Ｃは　点ＢのＹ＝２ｘに対称点　でいいのかな？

点Ｂと　Ｙ＝２ｘの距離を出そうか。

垂直に交わっている線分がでるから、そこから反対に飛ばせばいいね。

　直線と点の距離を出す方程式があるよね。

　点ＢとＹ＝２ｘとを垂直に結ぶ直線の方程式を出して、そこから対称だと見てもいいかもね。
　　これは好みかな？

面積の出し方もいくつかありそうだけど、絵を書くと分かりやすいけど

線分ＢＣの長さはすぐ出るから、点ＡとＢＣとの距離で高さにしても好いし、

線分ＡＢは一目なので、点Ｃとの距離をとったほうが早いかな。
　これも好みだろうけど。

こういう数学は、方針　が見つかれば終わりです。

闇雲に計算に走らないこと。特に時間がないときにやりがちだから気をつけてね。

どうすれば解けるかを先に考える。そっちのほうが大事だよ。

宿題かな？だったら自分で解くものだよ。

答え書いてもだれの得にもならないから、書かないよ。

考え方だけね。　で、ところでこれは三角関数の問題？

どこで使うのかな・・・？　代数学屋さんには分からない＞＜

お礼

回答ありがとうございました。