流れにおける三角関数について

質問

「流体の速度速度の広がりが十分に小さければ三角関数はその範囲にて線形関数により近似でき

tan(x + Δx)＝tan(x) + tan(Δx)/(1-tan(x) +tan(Δx))となる

Δx≪1だと　分母はおよそ１に等しく

tan(x + Δx) ≈tan(x) + tan(Δx)だと三角関数は直線である」

この節の解説が出来る方

どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.2

178-tall

>「流体の速度速度の広がりが十分に小さければ三角関数はその範囲にて線形関数により近似でき　tan(x + Δx)＝tan(x) + tan(Δx)/(1-tan(x) +tan(Δx))となる
　　　　↑
この算式は「近似」じゃなく、tan の加法公式ですネ。
　tan(x+Δx) = { tan(x)+tan(Δx) } / { 1 - tan(x)*tan(Δx) }　　… (T)

>Δx≪1だと　分母はおよそ１に等しく

Δx≪1だと、(T) にて tan(Δx) を無視 (≒ 0 ) でき、
>tan(x+Δx) ≒ tan(x) + tan(Δx)
と近似可。

回答No.1

noname#232123

tan(x+⊿x)={tanx+tan(⊿x)}/{1 - tanx*tan(⊿x)}.
ここで、、|tanx*tan(⊿x)|<1 のときは、
1/{1 - tanx*tan(⊿x)}=1+{tanx*tan(⊿x)}+{tanx*tan(⊿x)}^2+...
と展開されるからこのとき、
tan(x+⊿x)={tanx+tan(⊿x)}＊{1+{tanx*tan(⊿x)}+{tanx*tan(⊿x)}^2+...}
=Σ[k=0~∞]{tanx+tan(⊿x)}*{tanx*tan(⊿x)}^k
となります。さらに|tanx*tan(⊿x)|が十分小さいとき、{tanx*tan(⊿x)}^1 以上の項を切り捨てて、問題の線形な等式を得ます。