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三角関数の基本問題 解説
- 三角関数の基礎を学ぶ上で重要な概念である、マイナス記号と正負の関係について解説します。
- 質問文の例である、-sin Ө = sin (- Ө) の意味と、cosec -x と cosec x の違いについて考えます。
- 具体例を交えながら、マイナス記号が三角関数に与える影響について詳しく説明します。
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>問） Simplify cosec(Π+x) >答え）-cosec x >細かい事なのですがcosec -x では駄目なのでしょうか？ x は角度を表すのでcosec -x の方が理にかなうと思うのですが。 >cosec -x と答えたら間違いですか？ >回答者様から私の答えは X であると教えて頂きました。 計算式としては -cosec(x) と cosec(-x) 等しいと言えますが、 「Simplify（簡単化せよ）」という問題の場合は 「cosec(-x)」 ではまだ簡単化したことにはならず、 簡単カした式は「-cosec(x)」の方になりますね。この意味で、答えとしては「-cosec(x)」の方が正解とされるのです。 「cosec(-x)」の方は、まだ簡単化が完了していない途中式とみなされ答えとしては、正解とされないのです。 >1) -sin Ө = sin (- Ө) >2) tan(-Ө) = -tan(Ө) は 三角関数の 「Symmetry Properties（対称性）」から成り立つ等式です。 「Simplify（簡単化せよ）」という場合は「-sin Ө」や「-tan(Ө)」の方でないといけません。 sin((- Ө)やtan(-Ө)は簡単化がなされた式とは言えません。 >先日の私の質問では-cosec(x) と >cosec(-x) は違うものだと見なされています。 式としては 「cosec(-x) = -cosec(x) 」で等しいですが、 簡単化せよという問題の（答）としては 「cosec(-x)」と「 -cosec(x) 」は同じではありません。 「cosec(-x)」はまだ簡単化が未完了で、(答)としては正解とされず、一方、 「 -cosec(x) 」は簡単化が完了していて（答）として正解とされます。 >ここらへんの事がはっきりわかりません。 >具体例を入れて説明して頂けないでしょうか？ 次の式を簡単化せよ。 例１ -(-2x^2)*(-3xy^2)^3 = 2x^2 * ((-3)^3 * x^3 * y^6) = 2x^2 * ((-27) * x^3 * y^6) =(2*27)*(-x^5) y^6 =54 (-x^5) y^6 ← これではまだ簡単化未完了で(答)としては不適当。 = -54 x^5 y^6 ← （答）として適当。 例２ sin (55°-80°) = sin (-25°) = -sin (25°) sin (-25°) では(答)としては不適、sin (-25°) ⇒ -sin (25°) を(答)とすべきです。 例３ cos (3π-x ) = cos (π-x ) = - cos (x ) 例4 cos ((3π/2) -x ) = cos (3π/2) cos(-x ) - sin (3π/2) sin(-x ) = 0 - (-1) sin(-x ) = sin(-x ) = - sin (x ) sin (-x) では(答)としては不適、sin (-x ) ⇒ -sin (x ) を(答)とすべきです。
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- shuu_01
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＞ sin や cos の前、又は後ろ（Өの前）に ＞ マイナス記号を入れる違いがわからないのです。 sin の前の－記号は、その sin の値を プラスとマイナス逆にします sin の後の －記号は、角度のプラスとマイナスを 逆にします 単位円で考えると、sin θ ＝ y です ーθは x軸に関し、θと 上下反対側の位置にあり、 単位円で考えると、sin（ーθ）＝ ーy ですので sin（ーθ）＝ーsin θ です 単位円で、cos θ ＝ x です ーθは、y はプラスマイナス逆になりますが、 x は変わらないので、 cos（ーθ）＝ cos θ です cos（ーθ）＝ ーcos θ ではありません
お礼
あ～説明して頂いた事を読んでいく内に（まだ理解しきってはいませんが）、前回の回答者様の言葉が理解出来るようになってきました。 有難うございます。
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
cosec( π ＋ x) cosec θ は 1 / sin θ ですので、 sin θ でどうなるか考えると良いです sin（π ＋ θ）＝ ー sin θ ですので 1 / sin（π ＋ θ）＝ ー 1 / sin θ cosec( π ＋ x) ＝ ーcosec x となります あっ！ その前に sin （ーθ）＝ sin θ が問題なのですね 以前の回答で単位円を描いて説明しました 単位円で sin θ ＝ y cos θ ＝ x tan θ ＝ y / x cosec θ ＝ 1 / sin θ ＝ 1 / y sec θ ＝ 1 / cos θ ＝ 1 / x cot θ ＝ 1 / tan θ ＝ x / y となります θ は x軸から 反時計回りの角度です ーθ は x軸から 時計回りに回転した角度で x軸について上下対称の位置にあります y はプラスならマイナス、マイナスならプラスになり sin（ーθ）＝ ーy ＝ ーsin θ となります tan （ーθ） は y は符号が反対になりますが、 x は変わらないので tan（1ーθ）＝ ーy/x ＝ ーtan θ となります
お礼
＞あっ！ その前に sin （ーθ）＝ sin θ が問題なのですね いえ、これは大大丈夫なのです、以前shuu_01 さんに教えて頂いたので。 今回もいろいろ教えて下さって有難うございます。 shuu_01 さんからは沢山の事を教えて頂き助かってます。 角度がマイナスの時は３６０°を足して考えてもいい、などという事も凄い役に立ってます。 いつも私のレベルで話をして下さり助かってます。 ＞sin（ーθ）＝ ーy ＝ ーsin θ 納得がいきます。
- spring135
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数学を観念的にとらえないで、グラフ、図を描いてしっかりイメージを確立してから臨んでください。 Ө＝30°=π/6として (1)sin(-Ө)を単位円上にマークしてください。さらにy=sinxのグラフ上でsin(- Ө)をマークしてください。 (2)-sin(Ө)を単位円上にマークしてください。さらにy=-sinxのグラフ上で-sin(Ө)をマークしてください。 これらがことごとく一致することを確認して初めて1) -sin Ө = sin (- Ө)がわかります。 2) tan(-Ө) = -tan(Ө)もまったく同様に図とグラフを書いて考えてください。
お礼
ご回答有難うございます。 理解しようと何度も書いて下さってる事読みました。 グラフなども書いてみました。 結局 sin(-Ө)と-sin(Ө)は同じ、と解釈していいんだという結論に達しました。 そうすると-cosec x は何故 cosec -x と書いては駄目なのか、という元の疑問が浮かび上がってくるんです。 。。。。。。すみません
お礼
＞ 「cosec(-x)」 ではまだ簡単化したことにはならず、 簡単カした式は「-cosec(x)」の方になりますね。この意味で、答えとしては「-cosec(x)」の方が正解とされるのです。 よくわかりました、ああ、そうだったんですか、わかりました。 具体例も大変分かり易く理解出来ました。 有難うございました。