教えてください。

質問

T(r,t)=u(r,t)/t+T_B
これを
∂T/∂t=κ/r^2・∂/∂r(r^2・∂T/∂r)
に代入すると
∂u/∂t=κ・∂^2u/∂r^2

この計算による変形がうまくできません。途中計算を教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>T(r,t)=u(r,t)/t+T_B

∂T/∂t=(1/t)∂u/∂t-(1/t^2)u
∂T/∂r=(1/t)∂u/∂r
∂/∂r(r^2・∂T/∂r)
　=∂/∂r((r^2/t)∂u/∂r)
　=(2r/t)∂u/∂r+(r^2/t)∂u^2/∂r^2

>これを
>∂T/∂t=κ/r^2・∂/∂r(r^2・∂T/∂r)
>に代入すると

(1/t)∂u/∂t-(1/t^2)u=(κ/r^2){(2r/t)∂u/∂r+(r^2/t)∂u^2/∂r^2}
tを掛けてu/tを右辺に移項して,右辺の{ }を展開すると
∂u/∂t=(u/t)+(κ/r^2){(2r)∂u/∂r+(r^2)∂u^2/∂r^2}
=(u/t)+(κ/r^2)(2r)∂u/∂r+(κ/r^2)(r^2)∂u^2/∂r^2
=(u/t)+(2κ/r)∂u/∂r+κ∂u^2/∂r^2
となるので

>∂u/∂t=κ・∂^2u/∂r^2

とはなりませんね！

お礼

どうもありがとうございました！

回答No.4

alice_44

ちなみに…

∂u/∂r = -ur/(2kt) は、r,u についての変数分離形で、
u = exp(-r2/(4kt)+g(t)) と積分できる。
g(t) は、r に依存しない t の関数。
これを ∂u/∂t = k∂2u/∂r2 へ代入すれば、
g'(t) = -1/(2t) と整理できて
g(t) = (-1/2)log(t)+C. C は定数。
これを上記の式へ代入して g(t) を消去すれば、
u = (A/√t)exp(-r2/(4kt)) という解が得られる。
A は定数である。

ただし、この解は、所与の方程式に勝手に
∂u/∂t = k∂2u/∂r2 を連立して解いたものなので、
特殊解ではあるが、一般解ではない。

回答No.2

alice_44

そのようには、変形できませんよ？
T = u/t + (定数) を
∂T/∂t = (k/r2)(∂/∂r)(r2∂T/∂r) へ代入すると、
∂u/∂t - u/t = (2k/r)(∂u/∂r) + k(∂2u/∂r2).
これが ∂u/∂t = k(∂2u/∂r2) となるのは、
∂u/∂r = -ur/(2kt) が成り立つときだけです。

回答No.1

info22_

質問
>T(r,t)=u(r,t)/t+T_B

この式の最後の「t+T_B」は全部分母？ですか？
括弧をつけていただけば、分母がどこまでかわかりやすくなります。

また「T_B」って何ですか？

以上、補足願います！！

補足

わかりにくくて申し訳ありません。
T(r,t)=(u(r,t)/t)+T_B
です。

>また「T_B」って何ですか？
「T_B」は表面の温度で一定値です。