∇×？の演算方法について

質問

式の変形で、
μ∇×((∇^2）ψ←ベクトル)－ρ(∂^2/∂t^2)(∇×ψ←ベクトル))
=∇×((μ∇^2)ψ－ρ(∂^2/∂t^2)ψ）
という変形はできますか？

ちなみに出された課題は、
「ナビエの方程式に、ヘルムホルツの定理を代入して、2つの波動方程式を求めなさい」
です。

ここでナビエの方程式は→ρ(∂^2/∂t^2)u←ベクトル=（λ＋2μ)∇(∇・u←ベクトル)－μ∇×(∇×u←ベクトル)
ヘルムホルツの定理は→u←ベクトル=∇φ＋∇×ψ←ベクトル(ただし∇・ψ=0）
2つの波動方程式は→(∂^2/∂t^2)φ=(α^2)(∇^2)φ,(∂^2/∂t^2)φi=(β^2)(∇^2)ψi
(α=√((λ＋2μ)/ρ),β=√(μ/ρ))
です。

私が解いた解き方は、ナビエの方程式に、ヘルムホルツの定理を代入して、先生から教わった、∇・∇×ψ=0,∇×∇φ=0,∇・∇φ=(∇^2)φを使って、左辺にφをまとめ、右辺にψをまとめ、左辺=0で解き、αの方の波動方程式は出ました。で、右辺=0にしたいのですが、冒頭のような変形をすれば、右辺=0で出そうなんですが、本当にそのような変形をしていいのかという事が知りたいです。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

そうですね。上記の２行目から３行目の変形は可能です。試しに、i成分を計算して確認して下さい。
ところで、ρ(∂^2/∂t^2)u←ベクトル=（λ＋2μ)∇(∇・u←ベクトル)－μ∇×(∇×u←ベクトル)はＮ－Ｓ方程式ですか？どうも、λ,μをLame定数とする、等方弾性体の変位を示す運動方程式のように見えますが・・・。もし、そうであるならば、ヘルムホルツの定理を使うことにより、容易に波動方程式を導くことができます。

お礼

授業で、等方弾性体や運動方程式という用語はでてきましたが、N-S方程式というのは、はじめて聞きました。変形が可能なようなので、どうにか課題はできそうです。どうもありがとうございました。