曲面積

質問

Ｄ：［x^2+y^2=a^2］上の曲面z=tan^(-1)y/xを求める問題で・・・
極座標（ｘ＝ｒcosθ・・・）変換して計算すると途中で√（１＋ｒ＾２）というのが出てきます。それを
ｔ－ｒとおいて両辺を二乗してｒを出します。それをごちゃごちゃ計算して・・・∫√（１＋ｒ＾２）dr＝・・・＝1/4{t^2/2+2logt-1/2t^(-2)}と、なり代入し直して∫√（１＋ｒ＾２）dr＝1/8{(√(1+r^2)+r)^2-1/(√(1+r^2)+r)^(-2)}+1/2log{r+log√(1+r^2)}長くなってすみません・・・これでいいのでしょうか？

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

ほぼ合ってます。√（１＋ｒ＾２）=t－ｒの変換、どうして解ったんですか？。
不定積分として
I=∫√（１＋ｒ＾２）dr＝1/4{t^2/2+2logt-(1/2)t^(-2)}
は合ってます。あとはtをrにもどして
I=(1/4){{(r+√(1+r^2)}^2/2+2log|r+√(1+r^2)|-(1/2)(r+√(1+r^2)}^(-2)}
ここでポイントは最後の項です。
I3=-(1/2)(r+√(1+r^2)}^(-2)
この式の分子・分母に(r-√(1+r^2)}^2を掛けまっす。すっと
I3=-(1/2)(r-√(1+r^2)}^2となり、Iの第一項と相殺すると
I=(1/2){(r√(1+r^2))+log|r+√(1+r^2)|}
現在、酔っぱらい中であるが何故か自身あり。（￣ー￣）