実数条件と2次方程式
x+y=u,xy=vと置き換えるとき
x,yが実数であればuとvにどのように条件を引き継ぐかを考えます
ある参考書によると
x,yが実数
⇔x+y,x-yが実数
⇔uが実数、(x-y)^2=(x+y)^2-4xy>=0
⇔uが実数、u^2-4v>=0
と書いてありました
しかしここでまず疑問に思ったのが、一般的にtについての2次方程式の
解の条件に帰着する方法で考えると思うのですが、それで同値変形してみると
x,yが実数
⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0が2実解を持つ
⇔D>=0
となりuが実数という条件が出てきません
どこがおかしいのか教えていただきたいと思います
また、x,yが実数であり0<x<1,0<y<1という条件を同様に考えて変形すると
x,yが実数、0<x<1,0<y<1
⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0(=f(t)とおく)が0<t<1に2実解を持つ
⇔D>=0,軸>0,f(0)>0,f(1)>0
というようになります
これは正しい同値変形なのでしょうか
合わせてご教授お願いします
判別式Dが実数係数の式でしか使えないということが関係しているのか
とも思うのですが、やはりよくわかりません
よろしくお願いいたします
お礼
どうもありがとうございました。