効用最大化問題です

質問

答えは2番です。
これをラグランジュではなく、グラフを使ったやり方で解きたいです。

途中までしてみました。
C2=(1+r)(Y1-C1)+Y2
=1.05(180-C1)+210
=399-1.05C1
これをu= に代入

u=[c1(399-1.05c1)]^1/2
=(399c1-1.05c1^2)^1/2

これを微分して、u'=0 にすると思うのですが、
(399-2.1c1)^1/2=0
でいいのですか？
これが合っていたとして、ここからどう計算すればいいか分かりません。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

まず、問題をきちんと定式化してごらん。
max u = c1^(1/2)・c2^(1/2)
s.t.
c1 + c2/(1+r) = 180 + 210/(1+r)
すると、これをr=0.05とおいて解く。方法としてはラグランジュ法と代入法（予算制約よりc2をc1の式として表し、それを効用関数のc2に代入し、uをc1のみの式とする方法）とがある。あなたは2番目の方法で解きたいんですね。後者をグラフを使ったやり方と呼んでいるようですが、グラフを使ったやり方なら、もっと直観的に、効用最大化は無差別曲線と予算制約線が互いに接するところで多与えられる、という事実を使えばよい（速く求まる）。
無差別曲線の傾き＝∂u/∂c1/∂u/∂c2=c2/c1
となることはいいですか？
予算線の傾き＝1.05
よって、
2つの曲線の接点においては両者が等しくなるので、
c2/c1 = 1.05
c2=1.05c1
これを予算制約に代入して
c1 = 190
c2= 199,5
を得る。このc1とc2の組が効用最大化の消費の組だ。