連立方程式の問題の解き方について教えて下さい。

質問

2a+3b=1…(1)
2b+2c=-6 …(2)
2ｃ+3a=2 …(3)

この連立方程式を解く場合、それぞれの未知数が合って居ないのでいずれかの式と同じ形式する必要がありますよね。なので、まずは(2)と(3)の互いの2ｃを消す為に2ｃ+3a-2ｂ+2ｃと解くと8になりますが、この解き方が上手く理解出来ません。(3)-(2)解が2-（-6）＝8となるのは分かるんですが、今の様に(3)-(2)と計算したからであって (2)-(3)と計算をしたら-8になってしまいますよね。何故(3)-(2)と計算するのでしょうか。
先に2ｃ+3a-2ｂ+2ｃとする理由は 「(3)の3aが(2)の2bより係数が大きいから」という理解の仕方で良いのでしょうか。それとも(1)の2a+3bで、aが先に来ているから連立方程式でもaが先にある(3)からbが次にある(2)を引くのでしょうか。

それと、解いた3a-2b=8…(4)を使っての計算もよく分かりません。
(1)と(4)を使うのは「同じ記号だから」と分かりますが、(1)-(4)とすると
　2a+3b=1
－3a-2b=8
＝-a+5b=-7
となりますし、反対に(4)-(1)とすると
　3a-2b=8
－2a+3b=1
＝1a-5b=7
となって計算が手詰まりになりました。今までは大抵連立方程式を解いたらどちらかの記号同士が0になって◯x=△△ の様に解きやすかったので、今回の問題に躓いているんだと実感しています。
これの計算方法と、何故その順番（(1)-(4)/(4)-(1) ）となるのかを教えて下さい。

2つになりましたが、ご回答をお願いします。

回答No.6

ORUKA1951

No.3,No.5です。
　クラメルの公式は、計算は機械的で楽なのですが量が膨大になるので、
　⇒ガウスの消去法 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95 )
　No.2で紹介した方法ですが---を覚えたほうが良いでしょう。

回答No.5

ORUKA1951

No.3です。
　ちょっとあの書き方では分かりにくかったかもしれないので・・
最初の三段階のみ係数を書いたまま書くと
　 2a　　3b　　0c =　 1　　　　(A)*6
　 0a　　2b　　2c =　-6　　　　(B)*3
　 3a　　0b　　2c =　 2　　　　(C)*6
2,3,6なので間違えやすい割り算処理を少なくするためかけてしまいます。
　12a　 18b　　0c =　 6　　　　(A)-3*(B)
　 0a　　6b　　6c = -18　　　　(B)
　18a　　0b　 12c =　12　　　　(C)
　(1)の計算は
　　　12a　 18b　　0c =　 6
　-)　(0a　　6b　　6c = -18)×3
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
すなわち
　　　12a　 18b　　0c =　 6
　-)　 0a　 18b　 18c = -54
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　12a　　0b　-18c =　60
と言う事です。
よって
　12a　　0b　-18c =　60　　　　(A)+(3/2)(C)
　 0a　　6b　　6c = -18　　　　(B)
　18a　　0b　 12c =　12　　　　(C)

ここも同様に
　　　　12a　　0b　-18c =　60　　　　(A)
　+)　　27a　　0b　 18c =　18　　　　(C)
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　39a　　0b　　0c =　78　　　　(A)
よって
　39a　　0b　　0c =　78　　　　(A)
　 0a　　6b　　6c = -18　　　　(B)
　18a　　0b　 12c =　12　　　　(C)

以下同様です。大事なことは係数をひとつずつ消していくと言う事です。

なお、三次以上になれば・・
　 ／2　3　0＼　／a＼　　／1＼
　｜ 0　2　2 ｜｜ b ｜＝｜-6 ｜
　 ＼3　0　2／　＼c／　　＼2／
と行列式にして、クラメルの公式( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F )を使って一気に解いてしまいます。
　先に示したとき方は、行列式を公式を使わずに解く方法と考えても良いでしょう。
・・・行列/線形代数はとっても重要な数学分野なのですが、日本の教育課程からはすっぽりと脱落しているため、目にすることは少ないでしょう。理系の大学に進んだり、統計が必要な保健や技術開発に進んでから、はじめて目にする人も多いでしょうね。

回答No.4

birth11

2a+3b=1…………(1)
2b+2c=-6…………(2)
2c+3a=2…………(3)
(1)と(2)よりbを消去してaとcの関係式を作る。……………(4)
(3)と(4)よりaとcを確定する。
確定したaとcを用いて
(1)か(2)を用いてbを確定する。

以上の方針で答えを導きます。

(1)*2-(2)*3より
4a+6b=2
6c+6b=-18
4a-6c=20
よって2a-3c=10…………(4)

(3)*2-(4)*3より
4c+6a=4
-9c+6a=30
13c=-26
よって、c=-2
c=-2を(4)に代入して
2a+6=10
2a=4
よって、a=2

a=2を(1)に代入して
4+3b=1
3b=-3
よって、b=-1

ゆえに、(a,b,c)=(2,-1,-2)………(答え)

方針をまず最初に書いておけば、
途中の計算式が極力ややこしくならずに解けると思います。

回答No.3

ORUKA1951

こうして解くと簡単です。
(等幅フォントで)
　2a + 3b + 　 =　1　　　　(A)
　0a + 2b + 2c = -6　　　　(B)
　3a + 0b + 2c =　2　　　　(C)

　 2　　3　　0 =　 1　　　　(A)*6
　 0　　2　　2 =　-6　　　　(B)*3
　 3　　0　　2 =　 2　　　　(C)*6

　12　 18　　0 =　 6　　　　(A)-3*(B)
　 0　　6　　6 = -18　　　　(B)
　18　　0　 12 =　12　　　　(C)

　12　　0　-18 =　60　　　　(A)+(3/2)(C)
　 0　　6　　6 = -18　　　　(B)
　18　　0　 12 =　12　　　　(C)

　39　　0　　0 =　78　　　　(A)÷39
　 0　　6　　6 = -18　　　　(B)
　18　　0　 12 =　12　　　　(C)

　 1　　0　　0 =　 2　　　　(A)
　 0　　6　　6 = -18　　　　(B)
　18　　0　 12 =　12　　　　(C)-18*(A)

　 1　　0　　0 =　 2　　　　(A)
　 0　　6　　6 = -18　　　　(B)
　 0　　0　 12 = -24　　　　(C)÷12

　 1　　0　　0 =　 2　　　　(A)
　 0　　6　　6 = -18　　　　(B)-6*(C)
　 0　　0　　1 =　-2　　　　(C)

　 1　　0　　0 =　 2　　　　(A)
　 0　　6　　0 =　-6　　　　(B)÷6
　 0　　0　　1 =　-2　　　　(C)

　 1　　0　　0 =　 2　　　　(A)
　 0　　1　　0 =　-1　　　　(B)
　 0　　0　　1 =　-2　　　　(C)

　 a　　　　　 =　 2　　　　(A)
　　　　b　　　=　-1　　　　(B)
　　　　　　 c =　-2　　　　(C)

　a =　2
　b = -1
　c = -2

未知数を書いたまま計算しても全く同じで、要はひとつずつ消していくことになります。
左右に同じものを加えたり引いたり掛けても、＝の関係は成り立つということ．

回答No.2

syousuhanisinri

未知数がa・b・cと三つもある時は計算で二つに絞るんだよね。
（２）と（３）を加減してｃを消すのが一番楽なので、
　2b+2c=-6
- 2ｃ+3a=2　を計算すれば、
　2b-3a=-8　<1> となる。

逆の計算でも同じ。
　2ｃ+3a=2
- 2b+2c=-6 は、
　3a-2b= 8 <2>となり、全項にマイナスを掛ければ<1>と同じ式になるはず。
理由は、方程式は全項に同じ数を掛けることや同じ数で割ることができるから。
これを(1)の式と加減する。でもその前に係数をそろえなければならない。
最小公倍数は６だから、
　2a+3b=1 x3　・・・・(1)
3a-2b=8 x2　・・・・<2>で、
　6a+9b=3
6a-4b=16　にして減法する。
　6a+9b=3
-6a-4b=16 (-x6a=-6a,-x-4b=+4bだよね。)
13b=-13
b=-1
後は初めの方程式のどれかにぶち込んでaとbの解を出せば終了。
計算は平等です。
平等に符号や数字を掛ければ順番は関係ありません。
● マイナス掛けるマイナスはプラス、
● 符号は両辺の全項に掛ける。

これ（平等）を忘れなければ方程式大好き人間になれます。

回答No.1

jusimatsu

詳細に見るといろいろ計算が間違ってるんでなんなんですが、とりあえず

(3)-(2)は、
2c+3a-2b-2c=8
3a-2b=8
(2)-(3)は、
2ｂ+2ｃ-2ｃ-3a=-8
2b-3a=-8
両辺に-1を乗すると、同じ式になる。
(3)-(2)にするのは、右辺に-1が出てこないで、形としてすっきりするから。