単調増加について

質問

数学の教科書などには、
（ｆの導関数）＞０なら、ｆは単調増加と説明がある。
なぜ、（ｆの導関数）＞＝０　と＝を付けないのか。

回答No.3

-somebody- · ベストアンサー

No.2で回答したものです。

様々な方向から考えが足りませんでした。
申し訳ない。。

まずNo.1さんの通り
その参考書にある単調増加の定義がどのようなものかによって変わってくるので
まず(もし単調増加の定義についての記述があれば)それを確認することをオススメします。

そして
私の回答には重大な間違いがあります。

・狭義単調増加(与えられた区間において0<f('x))
・広義単調増加(与えられた区間において0≦f'(x))
こんなことは書いてませんでした。ごめんなさいorz

私の持っている参考書には
・狭義単調増加
与えられた区間の中にあるa,bが
a<bならば
f(a)<f(b)

・広義単調増加
与えられた区間の中にあるa,bが
a≦bならば
f(a)≦f(b)

こちらの方が正しかったです。

ｆ’(x)の増減はｆ’(x)＞０のとき、これを満たすｘで増加する。
としたとき、ｆ（ｘ）＝x^3-3x　の増減は
　ｘ＝＜－１，１＝＜ｘであると、参考書等にある。間違いではないと思うが、ｘ＜－１，１＜ｘ　とした方がよいと思うがどうなんでしょうか。意見をお願いします。

こちらについてですが
私の知っている定義からの説明をします。
(もし参考書に単調増加の定義についての記述があり、私の書いた定義と違う場合は以下の説明は軽くスルーしてください。)

数学の教科書などには、
（ｆの導関数）＞０なら、ｆは単調増加と説明がある。

これは（ｆの導関数）＞０なら
単調増加の十分条件を満たしているからですね。

ですが
(狭義)単調増加の定義は
・狭義単調増加
与えられた区間の中にあるa,bが
a<bならば
f(a)<f(b)

なので
1≦xのとき
0≦f'(x)ですが
1≦xの区間において
1≦a<bとすると
常に
f(a)<f(b)が成り立つので
1≦xで問題ないです。
f'(x)≦-1でも同様です。

導関数が0になる場合でも
(例：任意の実数のxに対してf(x)=x^3とするとf'(0)=0)
(変な言い方ですが)導関数が0となるのが一瞬ならば
単調増加の定義は満たしていますし
f(x)=1(-1≦x≦1)
f(x)=x(1≦x)
とした時に
1≦xならば
f(x)は単調増加ですね。

回答No.2

-somebody-

私まだ大学で数学の教育を受けたことがありませんが

大学生向けの数学の本には
・狭義単調増加(与えられた区間において0<f('x))
もしくは
与えられた区間の中にあるa,bが
a<bならば
f(a)<f(b)

・広義単調増加(与えられた区間において0≦f'(x))
もしくは
与えられた区間の中にあるa,bが
a≦bならば
f(a)≦f(b)

という定義があったような気がします。

平たく言えば
狭義単調増加は
皆さんが考えるような「単調増加」という意味どおり
xが大きくなるにつれて増加する関数のことです。
(一般に単調増加というとこっちを指すことが多い気がします。)

広義単調増加は
xが大きくなるとき
「少なくとも減少はしない」関数のことです(y=0は狭義短調増加ではないですが広義単調増加関数ではあります。)

ということで
普通単調増加といったら
狭義単調増加のことを言うからではないでしょうか？

補足

ｆ’(x)の増減はｆ’(x)＞０のとき、これを満たすｘで増加する。
としたとき、ｆ（ｘ）＝x^3-3x　の増減は
　ｘ＝＜－１，１＝＜ｘであると、参考書等にある。間違いではないと思うが、ｘ＜－１，１＜ｘ　とした方がよいと思うがどうなんでしょうか。意見をお願いします。

回答No.1

Tacosan

一口に「単調増加」といってもいくつかの異なる定義を考えることができます. その「教科書」で採用している定義を書いてください.