単位線分と長さ

質問

単位線分とは長さが１の線分である、という記述をたまに見ますが、違和感があります。
任意の線分を選び、それを単位線分と呼び、今注目する線分が単位線分の何倍かで、長さ１とか長さ２という呼び方が成立するわけですよね。
ならば、単位線分自身について、長さ１という表現を適用することはできないのではないでしょうか？
なんというか、自己言及的になってしまうというか。

回答No.10

ok9608

ピントをはずしていたらごめんなさい。

言葉の定義の問題ではないでしょうか。定義は別の言葉で表されるならもっと奥に遡れると思いますが、これ以上遡れないという言葉なら定義としていいと思います。ここでは『単位線分』の定義として　『長さが１の線分である』がふさわしいかということです。『長さ』はユークリッド空間の直線なのか曲線なのか、非ユークリッド空間を対象としているのかを明示する方がはっきりすると思います。『１』は単位の別呼称と思われます。『線分』とは　長さの部分と思われます。すると『単位線分とは数学的空間長の単位の別呼称１の線分である』となるようにおもわれます。『ＡはＡが扱える領域の同義語エイである』つまり『Ａはエイである』ということのように思います。これ以上遡れないように思われ、定義と思います。定義は自己言及になっていると思います。
別途　科学的な定義も可能と思います。光線の単位線分を光速から定義します。この場合　定義は測定器の原器であり　原器で原器を測れるかという自己言及問題は発生します。ゲーデル論理学の問題になるか　と思います。

お礼

ありがとうございます。

＞ここでは『単位線分』の定義として　『長さが１の線分である』がふさわしいかということです。

これだと、「長さが1」の1が、数の1である必要がなくなると思うんです。
長さがAとしても、長さがBとしても良くなってしまうのではないかと。
『単位は語る　科学のツボ』という本に、「国際キログラム原器の質量を1kgと定義した」という表現は間違いである、と書かれています。
正しくは、「国際キログラム原器の質量をkgと定義した」であると。
そして、キログラム原器の質量について、1kgという表現はできない、としています。
天秤を用いて比べたとき、キログラム原器とちょうど釣り合った物体の質量が「1kg」なのであって、キログラム原器自身について、1kgという表現は適用できないと説明されているんです。
今回の質問で私はこの考え方を数学という観念世界に持ち込んでしまったのですね。
しかし、単位線分そのものではなく、単位線分から長さを抽出して、それを単位とすれば（すなわち単位長）、自己言及的な問題は発生しないのではないかと思います。
物質世界と観念世界を混同したために、このような疑問が生じたのだと思います。

補足

ちなみに、私は今回の質問を通じて、「キログラム原器の質量をkgと定義した」上で、キログラム原器自身の質量を1kgと表現することは可能ではないかと思うようになりました。
キログラム原器という物質（客観的実在）から、質量という主観的実在を観念的に抽出し、それを単位（基準）とすることで、キログラム原器の質量を1kgと表現することが可能になるのではないかと。

回答No.9

alice_44

A No.8 にも A No.7 にもあるように、
測りたいものが先にあって、後から定規を持ってくる
というのは、日常よくある状況です。
長さを測るそのときに、測るのに使う線分と
測られる線分が両方あればいいだけのことで、
基準が先にないといけないから
単位線分を自身で測るのは無限遡行する…
というのは、不要な付け足しだろうと思うのです。
話に哲学を持ち込むと、混乱することだけが目的の
無意味な混乱を作り出すからいけない。

お礼

ありがとうございます。

混乱の原因は、単位線分そのものに注目していたことのようです。
単位線分の長さを抽出して、それに着目すれば、無限遡行の問題も起きないように思います。

補足

私の混乱の原因は、単位線分という表現だと思うんです。
単位長とすれば問題ないのではないかと思います。
単位線分と言ったところで、結局そこで問題にされているのは、その長さですからね。
線分そのものではなく、その線分の性質である長さを抽出して、そこに着眼しているわけですよね。
物質世界の感覚で考えてしまうから、「自分で自分を測れるか」というまさに物質世界の問題が出てきてしまうんでしょうね。
長さという性質にだけ着目して、単位長とすれば、問題は解消されるのではないかと思います。

回答No.8

NemurinekoNya

こんにちは。

ちょいと、質問者さんに掟破りの逆質問！！

長さ２の線分は単位線分の２倍。だから、長さは２ということは同意なさっているのですよね。
そこで、
仮に長さ２の線分があったとして、その長さがわからなかったとき───未知なので、これをxとします───、
質問者さんは、どうやって、その長さxを求める、あるいは、測るつもりなのだろうか？

長さが1.5の時は？
長さが1/3の時は？
長さが√２の時は？

参考までに、その方法を教えていただけませんでしょうか（ペコリ）。

お礼

ちょっと質問の意味がいまいち分からないのですが。

いかなる長さも単位線分で測るわけですから、単位線分がちょうと2つ分なら、長さは2。
単位線分1つ分と、それを10等分したうちの5つ分なら、長さは１.5。
単位線分を3等分したうちの1つ分なら、長さは1/3。
単位線分1つ分と、それを10等分したうちの4つ分と、100等分したうちの1つ分と・・・、と無限回繰り替えした結果に等しければ、長さは√２（もっとも、これは実無限派の考えですが）。

質問の意味が十分に理解できないので、こんな答え方しかできませんが、よろしいのでしょうか？

それと、哲学カテの方は運営側に締め切られてしまいました。
しかし、ちょうと自分の中で答えが出始めていたので、タイミング的には問題なかったです。

補足

できれば、リプライお願いします。

回答No.7

amaguappa

補筆。
6で述べたのは、単位とは総量概念に対する比だから、あくまで等分された要素であって、等倍するための自己措定装置ではないという話なんですが、
なぜこういう話をしたかというと、質問者さんがわからないのは「単位線分」じゃなくて「単位」の概念そのものに思われるからです。
要は割り算を先にしろといってもいいわけで、物差しや方眼紙や秤という文明の利器が生まれながらに与えられていたからって、質問者さんは度量衡が掛け算や足し算からスタートすると思っちゃいけないという話です。

木材を等分にしようとしてセンチメートルで物差しをあてたところうまく等分出来ず、
ミリメートルで測り直すという経験、これ、質問者さんが小学生のころに経験しましたでしょう。
つまり、初めは長さ1cmを単位線分とし、次は長さ1mmを単位線分に変更するとうまくいく。
この1mmが単位として適用されるべく導き出されたのは、長さ総量への参照によってであって、
もし2尺5寸の木材だと分かれば、等分するのに1mm単位なんか採用しません。
表現しなおすと、尺寸線分の単位線分とは１尺の長さかまたは１寸の長さです。

さらに、方眼紙に線を引いたこともあるでしょう。5mmマスの青線のついた方眼紙とかです。
念のため言いますが、あの場合、線を引いたときの単位である長さ1マスは、5mmですね。
もはや、あのような立派なマス目によってすっかり見通しがついている全体である以上、
マス目を、1,2,3,4,.....と数えることは理に適っています。
一目見るなり雑な怪しいマス目が引いてあってごらんなさい。
線分が1マスの何倍かと尋ねられても、それ以前に1マスが線分の載る基底的システムにおいて何分の1にもなっていやしないということが問題です。

中世の西欧では、多くの地域で、手の親指か足のサイズか両腕を広げたサイズを単位にして、長さに名前をつけていましたが、時期や用途によって原器が複数あり、実際は大きさがまちまちなので混乱をきわめていました。
糸などの売買に便利なのは天秤で重さを示すことで、これは貨幣を生み出しましたが、道具の設計や作製については、長さや面積や容量についての話が合わなければ商売になりません。
度量衡史は、職種組合の発達と国家の安定と国力の増大を如実に反映します。
フランス革命の頃にメートル法を生んだフランスでは、それまでフランソワ1世の制定によって、

　手の親指12＝王の足1
　王の足6＝両腕を広げた1
　王の足18＝王の杖1
　両腕を広げた2000＝駅程1

といった単位を、もっと古い度量衡との誤差に苦しみながら使っていました。
面白いのは連中は12で割るところで、"王の足1"よりも小さい長さについて、まさに質問者さんが立ち止まっているところを次のように処理します。

　手の親指1＝線12
　線1＝点12

古称に存在する"線"という単位は、"手の親指"を12等分する割り算から導かれた長さであり、
同じく"点"という単位は、"線"を12等分する割り算から導かれた長さなのです。
点1は、自己措定を点でもって行うことはありません。それは、線1/12以外の何でもないんですね。

お礼

ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。

回答No.6

amaguappa

わかりますよ。
たとえば碁石を数えるとしますが、いーち、と始まりますね。
この、いーちだけは、次なるに～ぃが１の２倍なのとはわけがちがう。
すでに、碁石の同じようなのがたくさんあるということが、碁石の概念形成の背景になっていて、
その碁石が、無限に限りなく近い全体のなかの１コであることがわかっている。
あるいは目の前の限られた多数の集合のなかの１コであることがわかっている。
しかし、世の中碁石みたいに数えられるものばかりではありません。
さらに念を押すと、唯一無二の対象であっても、概念として総数に還元しうるかというところが問題であって、そうした可算性は、事物対象の存在を、認識上約束しているといえます。

全体との照応関係が想起できないものについては、
1という単位を与えることもできません。
1は自己言及的に獲得できると思ったら大間違いで、
全体や総数を見越した可算性を示す記号にほかなりません。

線分とは線の部分です。または線分の集合の中の１コです。
つまり線分の長さ１はいったい長さ１なのか？という比は、長さ１を越えてから長さ１に対して始めるがよろしく、
線分の長さ１は、その線分が属する線ないし大きな線分の、可算性を物語るものであり、
そこに部分と全体の照応関係を認めるという約束を果たしているのです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

alice_44

数学は、混迷を自明へと整理する技術、
哲学は、自明から混迷を生み出す技術ですから、
数学に哲学を持ち込んでも、相容れないだけです。

ひとつの線分があれば、
それが自身の１倍であることは１回の比較で決まり、
何の繰り返しも起こりません。無限遡行？

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

「単位線分の単位線分を持ち出す」という考えは、
何を言っているのだか解りません。

平面または空間上に、ひとつの線分を置いて、
「これを単位線分とする」と指定することは、
無限遡行を含みようがないと思います。

どの線分を単位線分に指定しようと、定義上
その「長さ」が１であることは変わりません。
何を繰り返す必用もない、
ある線分と、その線分自身を一回比較して、
１倍であることを確認するだけです。

お礼

ありがとうございます。

そもそも「長さが１」とは、「単位線分１つ分」という意味ですよね。
長さという量を数値化する以上、任意に単位線分を定めて、測りたい線分が、単位線分のいくつ分に相当するか、を考える必要がありますよね。
単位線分１つ分なら、長さ１。
単位線分２つ分なら、長さ２。
単位線分１つ分と単位線分を１０等分した内の５つ分なら、十進小数で長さ１.５。
つまり、どんな長さも、数で表現すると決めた以上、「単位線分いくつ分」を考えるしかない。
ならば、単位線分それ自身の長さを数で表現するときも、その単位線分に対して「単位線分いくつ分」を考える必要がありますよね。
このとき、サルトルが『存在と無』のなかで指摘したような無限遡行が起こるのではないか、と思ったのです（未読ならここはスルーしてください）。
すなわち、ある線分の長さを数値化したいとき、その線分とは別に、尺度となる単位線分が必要となる。
ということは、単位線分の長さを数値化したいときには、その単位線分とは別に、尺度となる新たな単位線分が必要になるのではないでしょうか。

補足

まとめると、長さを数値化するときには、対象となる線分と尺度となる線分の２つが必要になると思うんです。
単位線分自身の長さを数値化するときには、本来尺度として機能する単位線分が対象化されるわけですから、別途、尺度となる単位線分を用意する必要があるのではないか、という疑問です。

回答No.3

alice_44

単位線分は、単位線分の何倍ですか？
当然、１倍ですね。
すると、「長さ」の定義により、
単位線分の長さは１です。
貴方が質問文に書いた、まさにその理由で、
単位線分の長さは１に決まります。
振り返ってみれば、長さ１の線分を
「単位線分」と呼んだことになります。
自明です。

ときに、「単位線分の長さは何でもいい」
と言う人がいるのですが、とんでもない！
上記に示したように、単位線分の長さは
必ず１でなくてはなりません。
２や３では、ありえないのです。

どれが単位線分かを決めるまでは、
「長さ」自体が定義されないのだ
…ということも、理解しておいたほうがよいです。

お礼

ありがとうございます。

＞単位線分は、単位線分の何倍ですか？

ここなんですよね。
１倍と答えたくなりますが、踏みとどまって考えてみたんです。
これだと、単位線分の単位線分を持ち出していることになりませんか？
長さは常に単位線分の何倍という形で表されるわけですよね。
ならば、単位線分自身の長さには言及できないのではないかと思ったんです。
で、単位線分の単位線分の長さは？となると、単位線分の単位線分の単位線分が必要になる。
この調子で無限遡行が起きてしまうのではないかと。
厳密に考えると。

＞ときに、「単位線分の長さは何でもいい」
と言う人がいるのですが、とんでもない！
上記に示したように、単位線分の長さは
必ず１でなくてはなりません。
２や３では、ありえないのです。

ここは全く同意です。

回答No.2

LHS07

ひとつの命題を考えるとき単位線分をどのくらいの長さか決めるから
このときの線分を１とします。

たとえば小学校の低学年の時には長さの単位は1ｃｍでこれが単位線分だったのです。

少し大きくなれば１ｍｍが単位線分だったのです。

１インチは２５．４ｍｍですからこれを単位線分にすることもでき

１寸は３０．３ｍｍですからですからこれを単位線分にすることもできます。

１尺は３０３ｍｍですからですからこれを単位線分にすることもできます。

１間は１８２０ｍｍですからですからこれを単位線分にすることもできます。
　家を作るときはこれが基準になりますね。
　ベニヤ板　鋼板もそうです。（ステンレスやアルミ板は違う）

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

opechorse

これ、実際の問題の解答だと
単位線分を定めて、長さを1とする
たとえば、任意の三角形の特定の辺の長さを1とする
みたいな記述が正解だと思います

ということだと、質問者の考え方と同じですよね
べつに単位線分の長さが2でも3でも12でもいいはずなんです
計算がやりやすければ

お礼

ありがとうございます。