最小値などを求めるときの、変数の範囲

質問

最大値や最小値を求める問題で定義域が動くとき、例えば
y=(x-2)^2　(0≦x≦a)
というような問題で、0<a<2　というように場合分けするときに、a=0を含めない理由は、
a=0のときにはそもそも最小値、最大値を論じることができないからですか？
つまり、ある関数において定義域がある一点しか存在しないのならば、最大値、最小値などは存在しないのですか。(たとえば定義域がx=0のとき。もしかしてこれは定義域とは言わないのですか？)

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

a=0のときは定義域が{0}（一点集合）ですね。

＞0<a<2　というように場合分けする

のであれば、a=0の場合も考えないといけません。
a=0が抜けていたらそれは間違いです。

もし、「0≦a<2の場合」とかだったらa=0だけ分ける
必要はないという意味。

＞ある関数において定義域がある一点しか存在しない
＞のならば、最大値、最小値などは存在しないのですか。
＞(たとえば定義域がx=0のとき。もしかしてこれは定義
＞域とは言わないのですか？)

いいえ。
質問文に上がっている例ならば、a=0のときはx=0で最大
値および最小値を両方もちます。

ちなみに、本が間違ってることはよくあることですよ。

お礼

よくよく調べてみたら、問題文にある、「aを正の定数として」という条件をすっとばしていました。

丁寧に解説してくださってありがとうございます。おかげさまで自分の間違いに気づくことができました。

お忙しい中ありがとうございました。

回答No.1

noname#180442

定義域とは何かを教科書やテキストあるいはGoogle検索して確認しましょう。最大値、最小値も同様に。

お礼

旺文社数学1 p65.
「変数がとる値の範囲を変域という.yがxの関数であるとき,xの変域をこの関数の 定義域 , yの変域をこの関数の値域という,」

旺文社数学1 p68
「関数y=f(x)の値域に最大の値や最小の値があるとき,それらをそれぞれこの関数の 最大値, 最小値 という.」

Wikipedia:　定義域
数学における写像の定義域（ていぎいき、英: domain of definition）あるいは始域（しいき、英: domain; 域, 領域[1]）とは、写像の値の定義される引数（「入力」）の取り得る値全体からなる集合である。つまり、写像はその定義域の各元に対して（「出力」としての）値を与える。
例えば、実数の範囲での議論において、余弦函数の定義域はふつう実数全体の成す集合（実数直線）であるし、正の平方根函数の定義域は 0 以上の実数全体の成す集合であるものとする。定義域が実数から成る集合（実数全体の成す集合の部分集合）であるような実数値函数は、その定義域が x-軸上にあるものとして xy-直交座標系に表すことができる。

関数の最大値と最小値:

実数には大小関係に基づいた順序が定められている。集合 X から実数の集合 R への写像 f にたいし、f の値域 Im f が最大の数や最小の数を持つかという問いがたてられる。・・・以下略

-----------
確認してもどうにもならないことはあります。ネットは玉石混合です。テキストは必ずしも万人の「疑問」に対して答えられるわけではありません。そこには真実がかかれているかもしれませんが、誤謬あるいは誤解を指摘してはくれないのです。受け取る方の力量に左右されるとも言えますが。

ご回答くださりありがとうございました。