●○2変数を含む最大最小問題。

質問

「z=(x+y+1)/(x^2+y^2+1)」の最大最小値を求める問題について質問です。

(x+y+1)/(x^2+y^2+1)=1/k とおいて展開すると、
(x-k/2)^2+(y-k/2)^2=k^2/2+k-1 となり、円の関数形式になるのですが、
ここから先、どのようにしてkの最大最小値を求めれば良いのか分かりません。
どなたかお解かりになる方がいらっしゃいましたら、宜しくお願い致します。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#4です。

> (x-k/2)^2+(y-k/2)^2=k^2/2+k-1
この円の半径rが存在する為の条件から
r^2=k^2/2+k-1≧0 (半径r=0も含む)　…(1)
これをkの2次不等式として解けばkの範囲が出てきます。
つまり、
k^2+2k-2≧0
k≦-1-√3,k≧-1+√3
(1-√3)/2≦1/k≦(√3+1)/2
最大値と最小値がこれででます。
最大、最小は等号のときのr=0の時ですから
(x-k/2)^2+(y-k/2)^2=k^2/2+k-1=0
で x=y=k/2となります。
ここで
最小値のときはk=-1-√3
最大値のときはk=√3-1
ですね。

お礼

ご丁寧に解答下さいまして、ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.5

take_5

＞「z=(x+y+1)/(x^2+y^2+1)」の最大最小値を求める問題

普通の高校生なら、以下のように解くだろう。

分母を払うと、zx＾2-x+zy＾2-y+z-1＝0.‥‥(1)
z＝0の時、x+y+1＝0を満たすxとyが存在すれば良いから、z＝0も答えの一部。
z≠0の時、(1)を満たす実数xが存在するから判別式≧0。
従って、4z＾2*y＾2-4zy+4z＾2-4z-1≦0.　‥‥(2)　yが実数であるから、判別式≧0.　即ち、2z＾2-2z-1≦0.　よって、（1-√3）/2≦z≦（1＋√3）/2　‥‥(3)

以上、z＝0の場合も含め、（1-√3）/2≦z≦（1＋√3）/2　。
最大値と最小値を与えるxとyの値は(1)～(3)で求められる。

別解として、条件式がxとyの対称式である事に着目する方法もあるが、そこまで考えたらおそらく混乱するだろうから、止めとくよ。。。。笑

お礼

度々ありがとうございました。
お陰様で理解することができました。

回答No.4

info22

偏微分を使う方法です。

fx=fy=0
から (x,y)=(-(√3+1)/2,-(√3+1)/2),((√3-1)/2,(√3-1)/2)
ここで極大、極小、鞍点となる。

(x,y)=((√3-1)/2,(√3-1)/2)で
fxx((√3-1)/2,(√3-1)/2)=-(3+2√3)/3<0 および
ヘッセの行列式H=[fxxfyy-fxy^2]((√3-1)/2,(√3-1)/2)=(2+√3)^2/3>0
なので極大となる。
極大値f((√3-1)/2,(√3-1)/2)=(√3+1)/2

(x,y)=(-(√3+1)/2,-(√3+1)/2)で
fxx(-(√3+1)/2,-(√3+1)/2)=(2√3-3)/3>0 および
ヘッセの行列式H=[fxxfyy-fxy^2](-(√3+1)/2,-(√3+1)/2)=(2-√3)^2/3>0
なので極小となる。
極小値f(-(√3+1)/2,-(√3+1)/2)=-(√3-1)/2

極大値>極小値で、他に極大、極小が存在しないから、極大値が最大値、極小値が最小値になりますね。

途中の計算は自分でフォローして見てください。
参考URLを参考になるかと思います。

参考URL：

http://sugp.int-univ.com/Material/Science/ChemMath1-2/e-Math4.htm

回答No.3

yasuhiga

ここに答えがあります。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1114672376
如何でしょうか。

回答No.2

take_5

＞それでは最大値は出なくないでしょうか？

わからなければ、k＝1/zとして、k^2/2+k-1 ≧0に代入したら？
最大値も最小値も、x-k/2＝0、and、y-k/2＝0の時。

この程度は、普通の高校生でもわかるぞ。。。。しっかりしろよ。

回答No.1

take_5

(x-k/2)^2+(y-k/2)^2≧0であるから、k^2/2+k-1 ≧0だろ。従って、z＝1/kだから。。。。続きは出来るだろ。

補足

度々申し訳ありません。
その方法からすると、
k^2/2+k-1≧0 でkの最小値を出すということですか？
それでは最大値は出なくないでしょうか？
ちなみに答えは
((√3-1)/2,(√3-1)/2)の時、Max=(√3+1)/2
(-(1+√3)/2,-(1+√3)/2)の時、Min=-(√3-1)/2
になるのですが。