力G(0,x)の線積分について

質問

力　G（0,x） は、向きはy軸方向で、大きさはx軸の値と同じ大きさの力ですよね。

それでは、この力をある閉経路に沿って線積分するとどうなるんですか？
というか、そもそもこの力を閉経路に沿って線積分することなんてできるんでしょうか？
y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

手が加える力は -G と思ってよいです．
質点が静止しているとして，
-G の力を手が加えれば質点には力が働かなくなります．
あとは動かしたい方向へ手で無限小の力を加えればそちらに動かせます．

重力場で考えるとわかりやすいでしょう．
質点 m に対して重力は下向きに mg．
手が上向きに mg だけ力を加えると質点には力が働かなくなります．
上方向に動かすにはさらに無限小 δF だけ上向きに力を加えればよいでしょう．
上方向に h だけ動かせば手のした仕事は (mg+δF)h ですが
(今は力が場所によらないので線積分が単なる掛け算に簡略化された)
δF はいくらでも小さくできるので上の仕事は mgh と思ってよいです．

質問内容からして，vengeance さんは理工系大学１年(相当)と思いますが，
上の mgh は大学入学前からおなじみの式ですね．

お礼

何度も答えていただきありがとうございます！

回答No.6

noname#221368

＞・・・そもそもこの力を閉経路に沿って線積分することなんてできるんでしょうか？
＞y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

　できますよ(^^)。

　ものすごーくでっかい部屋で、天上にいっぱい磁石を並べ、x軸方向に沿って天上の磁石の個数を変えてやれば、部屋内部に、G（0,x）のような磁場は実現できるしょう。

　　・その中で手に鉄球を持ち、その中にある一周する階段を歩く訳です。

　それは鉄球を手に持ってるからできるんであって、人がいなかったら（つまり磁場以外の力がないと）、鉄球は自然に一周しないから、そんな事を訊いてるんじゃない！、と言われそうですが(^^；)、この行為には物理的な意味があるんです（体に悪そうなので、やりたくないけど）。

　なぜ仕事を線積分で定義するのか？、なぜポテンシャルを考えるとき一周積分の考えが重要なのか？。その辺りを復習してみて下さい(^^)。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

hitokotonusi

＞y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

力は合成・分解ができますから、いろいろな力も加えたうえで、
力Gによる仕事を求めているということでいいのでは？

一般に質点に複数の力が働いていれば、力はGも含めて

G + F1 + F2 + ・・・　(全部ベクトル)

仕事は

∫(G + F1 + F2 + ・・・)・v(t) dt =∫G・v(t) dt + ∫F1・v(t) dt + ∫F2・v(t) dt + ・・・

この全体が閉じた経路に沿って運動させるための全ての仕事で、
この内の第1項が力Gによる仕事。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

porco909

力のベクトルが与えられれば、定義に従って積分することができます。

例えば、点A(0,0), B(L,0), C(L,L), D(0,L) があったとき
A→B→C→D→Aの経路で積分することを考えます。
力のベクトルがF↑= (fx(x,y), fy(x,y)),
経路上の微小ベクトル ds↑= (dx, dy)のとき、仕事 W は

W = ∫[A→B→C→D→A] F↑・ds↑
=∫[A→B→C→D→A] ( fx(x,y) dx + fy(x,y) dy )

この積分を正方形の１辺ごとの領域に分けて積分します。
[A→B] (x, y)=(0, 0)→(L, 0)
[B→C] (x, y)=(L, 0)→(L, L)
[C→D] (x, y)=(L, L)→(0, L)
[D→A] (x, y)=(0, L)→(0, 0)

今の問題では、fx(x,y) = 0、fy(x,y) = x なので、dx の積分は消えて
さらに dy の積分区間の幅が 0 になる場合も 0 になり、残るのは
[B→C] と [D→A] の領域だけです。これは y 方向の積分なので、
x はそれぞれ L、0 に固定されます。
でも x = 0(一定) となる [D→A] では積分が 0 になり、
結局、残る積分は [B→C] だけになります。
よって

W =∫[B→C] x dy =∫[0→L] L dx = L^2

一周の積分が 0 にはならないので、(0, x) は非保存力です。

もしも手にかかる力が (0, mg) であれば、

W = ∫[B→C] (mg) dy + ∫[D→A] (mg) dy
= (mg)∫[0→L] dy + (mg)∫[L→0] dy
= mgL - mgL
= 0

となり、保存力であることがわかります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

> ある経路に沿って質点を動かしたときの仕事

手で動かすなら，手がした(された)仕事ですね．
仕事の最も単純な定義は (力)×(距離) です．
これは力が場所によって変わらない，力の方向と移動方向が同じ，
という場合です．
力の方向と移動方向が違い，力が場所によって変わる，
というのが一般的場合なので線積分になっているのです．
前者はベクトル G と微小線分ベクトルとの内積によって処理されています．
後者で掛け算が積分になるのは面積の時などと全く同様です．
長方形の面積は (高さ)×(幅)．
高さが場所によって変わったら積分になります．

補足

理解が悪くて申し訳ありません。

この場合では、力Gと、手が加える力はどういう関係にあるのでしょうか？？

回答No.1

siegmund

>力　G（0,x） は、向きはy軸方向で、大きさはx軸の値と同じ大きさの力ですよね。

そのとおりです．

> それでは、この力をある閉経路に沿って線積分するとどうなるんですか？

具体的な値は閉経路を決めないと決定できませんが，
大事なことはゼロにならないということです．
すなわち，この G は保存力場ではありません．
G の x 成分と y 成分をそれぞれ G_x，G_y と書くと
今は
(1)　　G_x = 0，　　G_y = x
です．
保存力場の条件はいくつかありますが，一番調べやすいのは
(2)　　(∂G_y/∂x) - (∂G_x/∂y) = 0
が成り立つことでしょう．
上の(1)はあきらかに(2)を満たしません．

> というか、そもそもこの力を閉経路に沿って線積分することなんてできるんでしょうか？
> y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

根本的誤解をしておられます．
「その力の下での質点の運動の様子」と「力を線積分する経路」とは全く別の話です．
力の線積分の本質は，ある経路に沿って質点を動かしたときの仕事です．
ここで「質点を動かした」というのは例えば人間が手で動かしたということであって，
質点が問題にしている力(今は G)のために自然に動いたことを
言っているわけではありません．

補足

とんだ誤解をしておりました！ありがとうございます。

力Gと質点の運動が別物なら、なぜ、ある経路に沿って質点を動かしたときの仕事が、位置の関数として与えられる力の線積分になるのですか？