線積分

質問

どうしても解き方がわかりせん。どなたか教えていただけませんでしょうか。≪xy平面内の2点(0,0)(a,b)を始点.終点とする直線Γに沿った線積分Ｕ(a,b)=－∫Γ(dxf(x)＋dyf(y)）を計算してポテンシャルU(a,b)を求めよ。f(x)=-3x^2y^2　f(y)=2x^3y　f(z)=0≫なんですけど、線積分の意味は理解できたのですが、∫f(x)dxと∫dxf(x)の違いがわからなりません。また線積分の計算方法がわからないので教えてください。できればΓの意味も教えてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞∫f(x)dxと∫dxf(x)の違いがわからなりません。

　同じものです。
　私も最初戸惑いましたが、dx は∫の締め括りとして最後につけるものではなく、単に、dx という量を f(x) と掛けるだけの意味です。
　ですから、順番が変わっても、何にも変わりません。

＞Γの意味も教えてください。

　Γ（ガンマ）は、単に、直線につけた名前ということでしょう。
　高校数学で、よく直線に、直線ｌ(エル)と名づけることがありますが、これと同じことと思います。
　この問題の場合では、直線Γは「xy平面内の2点(0,0)(a,b)を始点.終点とする直線」なので、
　　ｂｘ－ａｙ＝０　（０≦ｘ≦ａ、０≦ｙ≦ｂ）
　　⇒　y=(b/a)x, x=(a/b)y
となります。　

＞また線積分の計算方法がわからないので教えてください。

　まず、ポテンシャルの積分を2つに分けます。
　　Ｕ(a,b)＝－∫Γ(dxf(x)＋dyf(y)）
　＝－∫Γdxf(x)－∫Γdyf(y)

　この積分を一つずつ求めていきます。

(1)　∫Γdxf(x)
　この積分はｘで積分しますので、ｘでの積分区間を求め、被積分関数のf(x)をｘだけで表します。
　　積分区間：　　０≦ｘ≦ａ
　　被積分関数：　f(x)＝-3x^2・y^2＝-3x^2・(bx/a)^2＝-3(b/a)^2・x^4
　　∫Γdxf(x)
　＝[x=0→a]∫{ -3(b/a)^2・x^4 }dx
　＝-3(b/a)^2×[x=0→a]∫x^4 dx
　＝-3(b/a)^2× a^5/5
　＝-(3/5)a^3・b^2

(2)　∫Γdyf(y)
　この積分はｙについての積分ですので、ｙでの積分区間を求め、被積分関数をｙだけで表します。
　　積分区間：　　０≦ｙ≦ｂ
　　被積分関数：　f(y)＝2x^3・y＝2(ay/b)^3・y＝2((a/b)^3・y^4
　　∫Γdyf(y)
　＝[y=0→b]∫2((a/b)^3・y^4 dy
　＝2((a/b)^3×[y=0→b]∫y^4 dy
　＝2((a/b)^3×b^5/5
　＝(2/5)a^3・b^2

　あとは、この２つを元の式に戻すだけです。
　　Ｕ(a,b)
　＝－∫Γdxf(x)－∫Γdyf(y)
　＝+(3/5)a^3・b^2-(2/5)a^3・b^2
　＝(1/5)a^3・b^2

お礼

本当に丁寧に説明していただいてありがとうございます。かなり助かりました。