偏微分方程式 (δ^2 u)/(δx^2)=0

質問

下記　(2) (δ^2 u)/(δx^2) = 0　の説明が理解できていません。まず、本の内容を：

例）　次の偏微分方程式を満たすu(x,y)の形を求めよう。

(1) δu/δx = 0

xに対する偏微分が0であるから、uはxを含まない関数、すなわちuはyだけの関数である。φ(y)をyの任意の関数として

　　　　　u = φ(y)

である。
yの任意の関数φ(y)をxで偏微分しても結果は0であるため、φ(y)は1階の常微分方程式の解に含まれる任意定数に対応している。

(2) (δ^2 u)/(δx^2) = 0

(δ/δx)(δu/δx) = 0　であるから、(δu/δx) = φ(y)　（φ(y)はyの任意の関数）となる。つまり、

　　　　　(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0

したがって、もう１つのyの任意関数θ(y)を用いて

　　　　　u-xφ(y) = θ(y)

となる。よって

　　　　　u = xφ(y)+θ(y) （φ(y), θ(y)はyの任意の関数 ）

・・・と本に書いてあります。
(1)は多分理解できています。普通の積分の積分定数C1, C2, ...みたいなものですよね？
ただ、それを踏まえて(3)ですけど、理解できていません。

まず、(δ/δx)(δu/δx) = 0になる理由は分かっているつもりです。
1階のをもう1回微分したから2階になったんですよね。

(δu/δx) = φ(y)は分かりません。もしそうなら、

　　　　　(δ/δx)( φ(y) ) = 0

でもいいということですか？そうなると次の式

　　　　　(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0

と矛盾してきませんか？u-xφ(y)が突然出てきた理由は、

　　　　　δu/δx = φ(y)
　　　　　δu = δxφ(y)
　　　　　u = xφ(y)
　　　　　u-xφ(y) = 0

ということですよね？これが合っているなら、むしろ、

　　　　　(δ/δx)( 0 ) = 0

じゃないですか？(←ここは多分自分が間違えていると思いますが何故か分かりません)
そんなことを考えていると次にまた、

　　　　　u-xφ(y) = θ(y)

が出てきて混乱しています・・・。
ネットで検索したらあるかと思ったのですが、すぐに応用の話になって見つかりません…。
ということで、上から一つ一つどうなっているのか説明して下さい。お願いします。

回答No.2

tetrahedron256 · ベストアンサー

代入して…というのは、丁寧にやるなら、

(∂/∂x)(∂u/∂x)=0
ここで v=∂u/∂x とおく
∂v/∂x=0
(1) と同様にして、v=φ(y) (φ(y) は y の任意の関数)
ゆえに ∂u/∂x=φ(y)

…という感じです。
次に、この式は
∂u/∂x=∂/∂x(x∙φ(y))
と変形できます。(∂x(x∙φ(y))=φ(y) となることは、x での偏微分を考えるときに y だけの関数 φ(y) は定数と見なせることから従います)
これを移項すれば (正確には偏微分作用素が線形であることを使って)

(∂/∂x)(u-x∙φ(y))=0

であることが言えます。
ここでくどいようですが w=u-x∙φ(y) とおけば、
∂w/∂x=0
となるので、(1) 同様に w=θ(y) (θ(y) は y の任意の関数)
となります。
結局, u=x∙φ(y)+w=x∙φ(y)+θ(y) です。

* * * * *
＞(δu/δx) = φ(y)は分かりません。もしそうなら、
＞　　　　　(δ/δx)( φ(y) ) = 0
＞でもいいということですか？

(∂/∂x)(φ(y))=0 でも構いません。これは (1) でみた通り「yの任意の関数φ(y)をxで偏微分しても結果は0であるため」です。

>δu/δx = φ(y)
＞δu = δxφ(y)
＞u = xφ(y)
＞u-xφ(y) = 0

うーん、一般的にこういう書き方をするのかどうか、私は知らないです。
(例えば 1変数の微分で du/dt=f(t) のときに du=f(t)dt と書き直して積分する、とかはよくやりますが、偏微分の場合どうなんだろう)
ですがもしこういう書き方をするとして
∂u = φ(y)∂x を x で積分して u = xφ(y) としたのでしょうが、これでは積分したときの「積分定数」が抜け落ちており、正確には u = xφ(y) + C となります。
ただし C というのは「xで偏微分したときに定数とみなせるもの」であれば何でもよいわけですから、結局 C=θ(y) と書けます。

お礼

理解できました！
質問する前は内側と外側のどちらの偏微分をやってるのか分かっていませんでした。確かにv=∂u/∂x や w=u-x∙φ(y) とおくと分かり易いですね。

> ∂/∂x(x∙φ(y))=φ(y)

なるほど、xで偏微分するとちょうどφ(y)が残る仕組みですね。xがなかったら0になってしまいますよね。移行してみたら、ちゃんと(∂/∂x)(u-x∙φ(y))=0になりました。

> (∂/∂x)(φ(y))=0 でも構いません。

納得しました。

>δu/δx = φ(y)
＞δu = δxφ(y)
＞u = xφ(y)
＞u-xφ(y) = 0

その通りです、勝手に積分してみました。でも積分定数が抜けていました。すみません、ここは忘れてください。

分かり易かったです。
これで次に進めます。
ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

(1) を本当に理解できてるのかなぁ.... u = φ(y) が δu/δx = 0 の解だというなら, 代入して成り立つはずでしょ?

お礼

では(1)を理解できていないということでいいです。
どこにどう代入して成り立つか説明してもらえますか？

(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0
(δ/δx)( φ(y)-xφ(y) ) = 0
(δ/δx){ φ(y)(1-x) } = 0

・・・ではないですよね？
分からないから質問しているのです。
そこのところをお願いします。