偏微分方程式： u(x,y)をβの関数とみなす

質問

uをxとyの関数として、次の偏微分方程式の解u(x,y)を求めよ。

　　　　　∂u/∂x = ∂u/∂y

模範解答
2つの変数x, yに対して
　　　　　α=x+y
　　　　　β=x-y
なる変数を定めると
　　　　　x=(α+β)/2
　　　　　y=(α-β)/2

u(x,y)をβの関数とみなすと　　　　　　　　　　　　　　←u(x,y)をβの関数とみなす、とは？

　　　　　∂u/∂β = (∂u/∂x)(∂x/∂β) + (∂u/∂y)(∂y/∂β)　←なぜこうなるんですか？
　　　　　= (1/2)(∂u/∂x - ∂u/∂y) = 0

となる。
すなわち、u(x,y)はαのみの関数である。
よって、x+yの任意の関数φ(x+y)を用いて
　　　　　u(x,y) = φ(x+y)
と表される。

・・・と本に書いてあります。
この「u(x,y)をβの関数とみなす」というのが分かりません。
なぜ
　　　　　∂u/∂β = (∂u/∂x)(∂x/∂β) + (∂u/∂y)(∂y/∂β)
になるんですか？

元の問題の式　∂u/∂x = ∂u/∂y　を移項すれば、
　　　　　∂u/∂x - ∂u/∂y = 0
になるので、違いますよね？
（これのお陰で(1/2)(∂u/∂x - ∂u/∂y)を０にできるんですよね）

もし、u(x,y)を「α」とみなした場合は違う式になったりしますか？
（∂u/∂α = (∂u/∂x)(∂x/∂α) - (∂u/∂y)(∂y/∂α)　とか？）

※質問した部分以外は一応理解できています。
どうか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ん, 「u(x,y)をβの関数とみなすと」はあまりよくない気がする. 「α と β の関数とみなす」の方が適切だろう.

α=x+y, β=x-y とすると x=(α+β)/2, y=(α-β)/2 だから
u(x, y) = u((α+β)/2, (α-β)/2)
と書ける. この右辺を見れば u が α と β で決まるともいえるよね.

これでもダメなら
v(α, β) = u((α+β)/2, (α-β)/2)
として, この v を考える.

∂u/∂β = (∂u/∂x)(∂x/∂β) + (∂u/∂y)(∂y/∂β)
については
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86#.E5.A4.9A.E5.A4.89.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.90.88.E6.88.90.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.BE.AE.E5.88.86.E5.85.AC.E5.BC.8F.E3.83.BB.E5.A4.89.E6.95.B0.E5.A4.89.E6.8F.9B
でも見てくれ.

お礼

なるほど、理解できました。
Wikiを見ると、αの場合はきっと

∂u/∂α = (∂u/∂x)(∂x/∂α) + (∂u/∂y)(∂y/∂α)

ですね。
確かに「α と β の関数とみなす」の方が適切だと思いました（ちなみに、あの式はすっかり忘れていました）。
ありがとうございました！

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>u(x,y)をβの関数とみなす

独立変数に変換式を代入して、新しい合成関数 u' を
作るということです。本当は別の名前を使いたいところなんだけど
名前が増えるのは面倒なので、同じ名前を使うから、
適宜読み替えてね　ということ(^^;

>∂u/∂β = (∂u/∂x)(∂x/∂β) + (∂u/∂y)(∂y/∂β)

∂u/∂β は 新しい合成関数 u' の偏微分。
u は u' と思って微分する。

(∂u/∂x)と(∂u/∂y)は元の関数を元の独立変数で偏微分する。

(∂x/∂β) と (∂y/∂β) は x, y を u の独立変数ではなくて、
変換関数として偏微分する。

このあたりを意識してゆっくり追ってゆけばよいと思います。

お礼

なるほど、新しい合成関数 u' を作っていたのですね。
昔読んだ本を開くと変数変換のこと載っていました。
私の脳から多変数の微積分の知識がすっかり抜け落ちているようです。復習しておきます。
ありがとうございました！