経済の問題

質問

経済、ゲーム理論の問題です。先生がお忙しいそうで中々会っていただけないので、ここで質問します。
複占市場下で企業1、2が存在するとしてこの企業が生産する財の市場需要関数を
Q＝100-2P
とします。Qは需要量、Pが価格です。また費用関数はC(1)＝ｑ(1)^2、C(2)＝ｑ(2)^2がそれぞれの企業に与えらています。

(1)企業1の利潤をｑ(1)、及びｑ(2)関数として表せ
(2)企業1の反応関数r1（ｑ(2)）を求めよ
(3)各企業の反応曲線を図示せよ
(4)ナッシュ均衡で実現する各企業の生産量と市場価格はを求めよ

(1)は自分で考えたらところπ(1)＝ｑ(1)×P（100－2P）－ｑ(1)^2かな、と思ったのですがどう考えればよいでしょうか。(1)以降は残念ながら全く見当もつかないです…

自分の力でなるべくやりたいので、途中式や答えを載せて頂くというより、アプローチの仕方を教えていただけないでしょうか? よろしくお願い申し上げます。

回答No.7

statecollege · ベストアンサー

>ｑ(1)*=(100－ｑ(2))/6= 50/3 - q(2)/6 になりました‼
符合を間違えていたみたいです。ありがとうございました

ここまでできれば、あとの（３）、（４）はお１人でできますよね！
（３）　企業１と２の(最適)反応関数は

q(1) = 50/3 - q(2)/6

q(2) = 50/3 - q(1)/6

で与えられる。これらのグラフを横軸にq(1)、縦軸にq(2)をとって描くことは、これらが1次式（直線）であることに注意すると、簡単です。たとえば、後者の、企業2の反応関数は、縦軸の切片が50/3で、傾きが-1/6の、右下がりの直線です。あるいは、縦軸の50/3の点と横軸の100の点を結ぶ直線といってもよい。同様に、前者の企業１の反応関数は、縦軸の100と横軸の50/3を結ぶ直線となります。

(4)　戦略の組み（q(1),q(2))は、各企業の戦略(生産量）が互いに相手企業の戦略の最適反応となっているとき、ナッシュ均衡といいますから、ナッシュ均衡を求めるためには、図に描いた二つの反応関数が互いに交わる点の座標を求めればよい。数字的に求めるためには、上の連立一次方程式をq(1)とq(2)についてとけばよい。その市場価格は、q(1)とq(2)が求まると

　P = 100 - Q = 100 - (q(1)+ q(2))

より、直ちに得られる。

お礼

はい‼ 大変助かりました‼
丁寧なご説明を頂き、本当にありがとうございました。

また機会があればよろしくお願い申し上げます。
本当にありがとうございました‼

回答No.6

statecollege

>価格決定:P(q(1)＋q(2))＝A-(q(1)＋q(2))
企業の費用関数:C(ｘ)＝cｑ(x) x＝(1),(2) cは正の定数でA>c
のとき、
利潤関数:π(1)＝ｑ(1)(A-c-q(1)-q(2))
このときの企業1の最適反応は、
ｑ(1)*=r1(q(2))=(A-c-q(2))
となっています。

やはり、モデルの設定がちがいますね！だから、ここで得られた結果に数字を単に代入しただけでは正しい答えは得られません。それに、企業1の最適反応が間違っています（黒板を写し間違えたのではないでしょうか？）まずこちらを先に解いてみましよう。

　　　P = A - Q, Q = q(1) + q(2), C(1) = cq(1)

より、企業1の利潤π（１）は

　　π（１）＝ Pq(1) - C(1) = (P - c)q(1)

右辺のPに逆需要関数P = A - Q = A - q(1) - q(2)を代入すると

　　π（１）= (A - c - q(1) - q(2))q(1) = (A - c - q(2))q(1) - q(1)^2　　　

となる（ここまではあなたのノートと同じですね！）。 q(2)を与えられたとき、企業１の利潤π（１）を最大化するq(1)を求める（最適反応関数）ために、上の式をq(1)について微分し、結果を０とおくと、

　　　0 = ∂π(1)/∂q(1) = (A - c - q(2)) - 2q(1)

となり、これをq(1)について解くと（企業1の最適反応関数

　　　　　q(1) = (A - c - q(2))/2

を得ます。あなたが上で書いた式とくらべると、あなたの式には・・・/2が抜けています。（A - c -q(2))を2で割る必要があります（黒板を写し損ねたのではないでしょうか？）　それから、費用関数が授業のときは　

　　　　C(1) = cq(1)

と一次関数であるのに、練習問題（？）では

　　　　C(1) = q(1)^2

と2次関数なので、授業の結果をそのまま使うことはできません！！！！！私がNo.4でやったように、利潤関数を正しく導き、
それをq(1)について微分することによって求めてください。

回答No.5

statecollege

>ノートには
ｑ(1)*=r1(q(2))=(A-C-q(2))
と書いてありました…。

授業で勉強したときの、市場需要関数と各企業の費用関数の設定を示してください。質問の問題はその授業の練習問題（宿題？）ですよね！おそらく講義と練習問題とでは設定が違うのでしょう！設定が違うのに、練習問題の数字をあてはめても正しい答えは得られません！

補足

価格決定:P(q(1)＋q(2))＝A-(q(1)＋q(2))
企業の費用関数:C(ｘ)＝cｑ(x) x＝(1),(2) cは正の定数でA>c
のとき、
利潤関数:π(1)＝ｑ(1)(A-c-q(1)-q(2))
このときの企業1の最適反応は、
ｑ(1)*=r1(q(2))=(A-c-q(2))
となっています。
利潤関数までは理解できたのですが、最適反応からがよくわからないです…

回答No.4

statecollege

>そうすると
ｑ(1)=－(ｑ(2)+100)/6
になると思うのですが、見当違いでしたらすみません

企業1の反応関数r1(q(2))とは、「相手企業（企業２）がq(2)という戦略（生産量）を選択したとき、企業１は自分の生産量q(1)をいくらの値に設定したら自分の利潤が最大化されるかを教えてくれる関数のことです。」　これを求めるには、NO2で求めた利潤関数

　　　π(1)　= -(3/2)q(1)^2 - [(q(2) - 100)/2]q(1)

をq(1)で微分して結果を0と置けばよい(最大化の一階の条件）。すなわち、

　0 =∂π(1)/∂q(1) = - 3q(1) - [q(2) - 100]/2

よってこれをq(1)について解くと

q(1) = 50/3 - q(2)/6 　

が得られる。これが企業1の反応関数で、右辺をr1(q(2))と書きます。この式(関数）は、相手の企業2がq(2)という生産量を選択したら、企業１は上の式の右辺で与えられるq(1)の値を生産すれば、企業1の利潤は最大化されることを教えてくれる。しかし、あなたの計算結果と違いますね！あなたは計算をどこで間違えたか自分でチェックしてみてください。

補足

ｑ(1)*=(100－ｑ(2))/6= 50/3 - q(2)/6 になりました‼
符合を間違えていたみたいです。ありがとうございました。

回答No.3

statecollege

>あと問題なんですが、π(2)ではなくπ(1)をｑ(2)の関数として表せ、という問題でした。その場合も同じ手順でできるのでしょうか

どの問題ですか？問(2)の「企業1の反応関数r1（ｑ(2)）を求めよ」のことでしょうか？あなたが言う「π（１）をq(2)の関数として表わせ」というのは、理解不能なナンセンスな問いです！ですから、つぎに、問(2)の問題に移りましょう。
企業1の反応関数r1(q(2))というのは、相手企業（企業２）が、q(2)という戦略（生産量）を選択したとき、企業１は自分の生産量q(1)をいくらの値に設定したら自分の利潤が最大化されるかを教えてくれる関数のことです。（１）で、

　　　π(1)　= -(3/2)q(1)^2 - [(q(2) - 100)/2]q(1)

を導いたので、この関係を用いて、q(2)を所与としたとき、π(1)を最大化するq(1)を得るためにはどうしたらいいでしょうか？考えてみてください！

補足

ノートには
ｑ(1)*=r1(q(2))=(A-C-q(2))
と書いてありました…。
ここでいうAは定数100だと思うのですが、この式の意味がわからないです…。
あとはπ(1)をｑ(1)について微分し、傾きが0のときのｑ(1)を求めるのかな、と思いました。そうすると
ｑ(1)=－(ｑ(2)+100)/6
になると思うのですが、見当違いでしたらすみません…。

回答No.2

statecollege

>π(1)=q(1)*(50-Q/2)-q(1)^2　　Q=100-2Pを代入して、
=q(1)*{50-1/2(100-2p)}-q(1)^2
ということでしょうか。

違います！私の回答No1をちゃんと読んでいただけたのでしょうか？　そこで私が示したようにやってください。Pを消去しなけれπ（１）はq(1)とq(2)の関数として表わせません！

回答１で書いたことをもう一度書きます。

「π（１）= Pq(1) - q(1)^2

となりますが、P = 50 - Q/2　=　50 - (q(1) + q(2))/2ですから、これを上の式に代入すると、π（１）をq(1)とq(2)の関数として表わせます。」

ここまではよいでしょうか？ここで求めたP = 50 - (q(1)+q(2))/2をπ（１）の式の右辺のPに代入すれば、

π(1) = [50 - (q(1) + q(2))/2}q(1) - q(1)^2

= 50q(1) - q(1)^2/2 - q(1)q(2)/2 - q(1)^2

= -(3/2)q(1)^2 - [(q(2) - 100)/2]q(1)

となります。π(1)式の右辺からはPが消去され、π(1)はq(1)と(q(2)だけの関数となっていることを確かめてください。π(2)についても同様に求めてください。

お礼

前の補足質問で私の質問内容が間違ってました…すみません。
よろしければお答え頂けたら幸いです。

補足

なるほど‼ やっとわかったような気がします…
あと問題なんですが、π(2)ではなくπ(1)をｑ(2)の関数として表せ、という問題でした。その場合も同じ手順でできるのでしょうか？

回答No.1

statecollege

(1)ができないと、あとは解けません！
あなたの、π（１）の中にあるP(100-2P)とは何でしょうか？

企業１の利潤π（１）は定義によって収入マイナス費用ですから

　　　π（１）= Pq(1) - q(1)^2

となりますが、P = 50 - Q/2　=　50 - (q(1) + q(2))/2ですから、これを上の式に代入すると、π（１）をq(1)とq(2)の関数として表わせます。なお、需要関数Q＝100 - 2PをP = 50 - Q/2の形にしたもの（つまり、PをQの関数として表わしたもの）を逆需要関数といいます。ですからあなたが第1にしなくてならないことは逆需要関数を求めることです。（Pを縦軸に、Qを横軸にとってあらわした需要曲線は、このかたちで表わせていますから、需要曲線とは実は逆需要関数をグラフに表わしたものにほかなりません。）

これができると、次のステップに進めますが、また分からなかったら補足質問してください！

お礼

またお世話になり、本当にありがとうございます。

補足

ありがとうございます。
π(1)=q(1)*(50-Q/2)-q(1)^2　　Q=100-2Pを代入して、
=q(1)*{50-1/2(100-2p)}-q(1)^2
ということでしょうか。
あとはq(2)を使ってπ(2)を表すにはどうすればいいのでしょうか。
たびたび申し訳ありませんが、よろしくお願いします。