ミクロ経済学の問題です。

質問

ヒントか答えだけで嬉しいです。
教えてください。お願いします

完全競争市場の場合を考える。
財１、２を消費する消費者と財１、２を生産する生産者がいます。
効用関数は、U＝X1X2
生産関数は、X2=F(X１)＝２X^1/2

消費者の初期保有量は財１が２単位、財２が０単位である。また、消費者は生産者の株主であり、利潤を受け取る。従って、消費者の所得は利潤と初期保有の一部を売却して得られる金額の合計に相当する。完全競争均衡における価格比（P1/P2）を求めなさい。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

この質問はあなたの以前の質問（↓）と設定が同じなので

　　http://okwave.jp/qa/q8818084.html

の結果を用いるのが一番手っ取り早い。以前の質問の解答から第１財と第２財への消費者の需要X1とX2は

　　X1 = M/2P1

X2 = M/2P2

で与えられる。一方、生産者の第1財投入量Y１と第２財の生産量Y2はそれぞれ

　　Y1 = (P2/P1)^2

　　Y2 = 2(P2/P1)

であった。よって、生産者の利潤Πは

　　Π＝P2Y2 - P1Y1＝２P2(P2/P1) - P1(P2/P1)^2 = P2^2/P1

となるから、消費者の所得M(=第１財の初期保有量の価値プラス配当された利潤）は

　　M = 2P1+ Π　＝ 2P1 + P2^2/P1

である。したがって、第２財に対する消費者の需要は

　　X2 = M/2P2 = (2P1 + P2^2/P1)/2P2 = P1/P2 + (1/2)P2/P1

となる。よって、均衡においては第２財に対する需要と供給が等しいからX2 = Y2、すなわち

　　　　P1/P2 + (1/2)P2/P1 = 2P2/P1

整理すると

　　　　P1/P2 = (3/2)P2/P1

(P1/P2)^2 = 3/2

P1/P2 = (3/2)^(1/2) = √(3/2)

これが求める競争均衡価格比だ。

回答No.1

pikaruche

消費者も生産者もひとつだけのタイプで、完全競争を考えています。こういう場合は、消費者も生産者も多数ではあるけど、同数いると仮定されたお話ととらえます（よくこれは前提とされます）。数学的には一人ずついると考えて解きます。

均衡は価格比のみに依存しますから、p2=1とします。消費者が売却する財１の量をy1とします。完全競争均衡では、消費＝生産ですから、財２の消費、及び生産量は、２y^1/2になります。財１の消費量は初期保有量-y1の2-y1です。

効用関数と生産関数の形から、効用最大化および利潤最大化は内点解のみですから、消費では予算線と無差別曲線が接する、生産では等利潤直線と生産関数が接する、ことになります。

(∂U/∂x1)/(∂U/∂x2)=p1 (消費x1＝2-y1,x2＝２y^1/2において）
(∂F/∂x1)=p1 (投入量x１＝y1において)

未知数はp1,y1で等式ふたつになり、p1,y1が求まります。