大学の解析Aの問題で、はさみうち法を使うものです

質問

a>0とする。はさみうち法を、用いてlim(ｘ→a)√ｘ＝√aを示せ

という問題です
おねがいします

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

不等式の導出も書いとくかな。

h < 0 のとき、
h が 0 に十分近ければ(具体的に h > -1 なら)、
0 < 1+h < 1 なので、0 < (1+h)^2 < (1+h) < 1 でもある。
各辺の √ をとって、0 < 1+h < √(1+h) < 1。
ここで h→0 とすれば、ハサミウチ定理によって
lim[h→ー0] √(1+h) = 1。

h > 0 のとき、
1+h > 1 は言うもでもない。
f(h) = 1 + (1/2)h - √(1+h) と置くと、
f(0) = 0,
f'(h) = (1/2){1 - 1/√(1+h)} > 0
より f(h) > f(0) = 0。
以上を併せると、1 < √(1+h) < 1 + (1/2)h。
ここで h→0 とすれば、ハサミウチ定理によって
lim[h→＋0] √(1+h) = 1。

両者が一致したので、結局
lim[h→0] √(1+h) = 1。

本音を言えば、グラフを眺めて
1+h と 1+(1/2)h を決めたのだけれど、
「グラフより」では証明とは言えないから…

回答No.1

alice_44

x = a(1+h) で置換すると、
lim[h→0]√(1+h)=1 を示す問題となる。
h＜0 のとき 1+h＜√(1+h)＜1、
h＞0 のとき 1＜√(1+h)＜1+(1/2)h
からハサミウチすればよいと思う。
変数変換が気にいらなければ、代入して
h の式を x の式に戻せばいい。