はさみうちの原理

質問

はさみうちの原理です。

lim 　　　 sin 3x / 3x
x→0

と、

lim　　　　　3x / sin3x
x→0

が両方１になる理由を教えていただけませんか？最初のほうが１になるのはわかるんですが、分子分母を入れ替えた後者も同じく１になる理由がわかりません。

回答No.3

abyss-sym · ベストアンサー

前者は, 公式 lim(sinx/x)→1 (x→0) を使えば出ます。

後者は, lim(3x/sin3x) = lim(sin3x/3x)^(-1)
というふうに考えると, lim(sin3x/3x)^(-1)→1^(-1) = 1 (x→0)
したがって両方とも１となります。

回答No.4

ka1234

こんにちは。
収束する部分は普通の数と同じように扱ってよいので、

＞最初のほうが１になるのはわかるんですが・・・
により、

　lim(3x/sin3x)　[x→0]
＝lim 1/(sin3x/3x)　[x→0]（中身をひっくり返す）
＝1/{lim(3x/sin3x)}　[x→0]（limを移動する）
＝1/1＝1（答え）となります。

回答No.2

10ken16

x>0で十分小さいとき

sin x≦x≦tan x

1/tan x≦1/x≦1/sin x

全体にsin x（＞０）をかけて…

回答No.1

higekuman

sin3x / 3x が 1 になるということは、sin3x = 3x ということですよね。
だったら、分子分母を入れ替えても 1 になるのは当たり前だと思いますけど。
というか、1 の逆数は 1 ですよ。分子分母を入れ替えても同じ値になりますよね。