行列の行列式、ランク

質問

ある化学反応の速度論の教科書に載っていたのですが、

1 -1 0 -1 1
-2 1 1 -2 0
0 1 -1 4 -2

という縦3、横5の行列があります。そのあとの説明で、

It may be verified here that any determinant of size 3 is zero and that the tank of the matrix is therefore equal to 2.

と書いてあります。「サイズ３のどんな行列式でも、ゼロで、したがって、行列のランクは２である」と直訳してみたのですが、よくわかりません。
正方行列じゃないので、行列式は定義できないのではないですか？だから、行列式はゼロだと言いたいのですかね？そうすると、サイズ３というのがどういう意味なのか分かりません。縦だけのことしか言及してないのですか？
また、行列式がゼロだからといって、ランクが２であるということは言えるのでしょうか。

混沌としていてわかりにくいと思いますが、どなたか教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.5

okormazd · ベストアンサー

#4です。
すみません。ミスがありましたので訂正してください。→

小行列式を使って行列の「次数」→「階数」を求める方法によれば、その行列から得られる、ある次数の小行列式の次数が、全部0なら、行列の「次数」→「階数」は、その小行列式の次数り小さく、1つでも0にならない次数の小行列式があれば、行列の「次数」→「階数」はその小行列式の次数と一致するというものです。

与えられた行列から、どれかの行3つと列3つをとって３次の行列式を作ると、それらの行列式はみんな0になる。英文の前半の意味です。実際に作って確かめてください。英文には書いてないが、２次の小行列式を作れば、0でないものがすぐわかる。だから、行列の「次数」→「階数」は2になる。

といっているのです。

お礼

回答ありがとうございました！
tankじゃなくてrankですね。。すいません。
線形代数は一通り習っていたと思っていたのですが、そのような考え方（方法）は初めて聞きました。
確認して、確かにそうなることがわかりました。大変勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

okormazd

英文(tank→rank)の訳　
「(与えられた行列から得られる)サイズ３のどんな行列式も、ゼロで、(与えられた行列から得られるサイズ２の行列式に0でないものがある)したがって、行列のランクは２である(ことがわかる)」
ということでしょう。

小行列式を使って行列の次数を求める方法によれば、その行列から得られる、ある次数の小行列式の次数が、全部0なら、行列の次数は、その小行列式の次数り小さく、1つでも0にならない次数の小行列式があれば、行列の次数はその小行列式の次数と一致するというものです。

与えられた行列から、どれかの行3つと列3つをとって３次の行列式を作ると、それらの行列式はみんな0になる。英文の前半の意味です。実際に作って確かめてください。英文には書いてないが、２次の小行列式を作れば、0でないものがすぐわかる。だから、行列の次数は2になる。

といっているのです。

回答No.3

boiseweb

「小行列式」というキーワードで，線形代数のテキストを探すかウェブ検索してください．

お礼

回答ありがとうございます。検索してみましたら出てきました！

回答No.2

Tacosan

「それはわかります。」の「それ」ってどれ?

そして, 「行列のランクについて確認してみてください」と書いたんだけど, 確認してれば「行列式を使ってランクを求める」方法があるのはわかるはずです. それを適用したらどうなりますか?

お礼

きちんと、掃出し法（だったかな名前はあやふやですが）でやれば、ランクは２になりました。
それは良いのですが、教科書の英文の意図するところが分からないのです。

補足

ごめんなさい。「行列式をつかって」ということですね。
次元定理を利用するやり方ですか？

回答No.1

Tacosan

「サイズ3 の行列式」だから当然「3×3 の行列式」です.

そして, これも当然ですが「サイズ3 の行列式がどれも 0」だからといって直ちに「ランクが 2」とはいえません.

行列のランクについて確認してみてください.

お礼

回答ありがとうございます。
それはわかります。
しかし、教科書の英文に書いてあるのはどう理解すればよいのでしょうか？
私が知りたいのは、あの英文が意図するところです。