最大化問題の証明について

質問

効用最大化問題において、以下の定理の証明が記述されています。

Theorem 1.4: Sufficiency of Consumer's First-Order Conditions
Suppose that u(x) is continuous and quasiconcave on Rn+, and that (P,y)>>0.
If u is differentiable at x*, and (x*,λ*)>>0 solves ∂L/∂xn=∂u(X*)/∂xn-λ*pn=0, then x* solves the consumer's maximisation problem at price P and income y.

Proof : We shall employ the fact that you are asked to prove in Exercise1.28: For all x, x1>=0, because u is quasiconcave, ∇u(x)(x1-x)>=0 whenever u(x1)>=u(x) and u is differentiable at x.

ここで、問題なのが、Exercise1.28の証明を援用していることで、このExercise1.28がわかりません。

Exercise1.28
In the proof of Theorem 1.4 we use the fact that if u(・) is quasiconcave and differentiable at x and u(y)>=u(x), then ∇u(x)(y-x)>=0.
Prove this fact in the following two steps.
(a)Prove that if u(x)>=u(y) the quasiconcave of u(・) and its differentiable at x imply that the derivative of u((1-t)x+ty) with respect to t must be non-negative at t=0.
(b)Compute the derivative of u((1-t)x+ty) with respect to t evaluated at t=0 and show that it is ∇u(x)(y-x).

書いている内容はわかりますが
1. u((1-t)x+ty)のtについての導関数が分からない
2. t=0のときの、u((1-t)x+ty)のtについての導関数が分からない
3. t=0のとき、∇u(x)(y-x)となるのががわからない
どなたか、Exercise1.28の(a)(b)を詳しく教えていただけないでしょうか？
u((1-t)x+ty)のtについての導関数だけでも教えていただけないしょうか？

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

＞1. u((1-t)x+ty)のtについての導関数が分からない
2. t=0のときの、u((1-t)x+ty)のtについての導関数が分からない
3. t=0のとき、∇u(x)(y-x)となるのががわからない

x, yがｎ次元ベクトルの一般的な場合が分かりにくかったら、n=2次元ベクトルの簡単な場合から考えてみればよい。いま、ｘ、ｙは2次元ベクトルとする。x = (x1,x2)、y=(y1,y2)と置くと、u(x) = u(x1,x2)であるから、

　　u[(1-t)x+ty] = u[(1-t)x1+ty1, (1-t)x2+ty2]

となる。これを、tについて微分すると、合成関数の微分の公式(chain-rule)を用いて、右辺をｔについて微分すると

　　u1[(1-t)x1+tx2, (1-t)x2+ty2](-x1+y1) + u2[(1-t)x1+x2, (1-t)x2+ty2](-x2+y2)

= ∇u[(1-t)x+ty]・(y-x)

となる。ただし、u1(x) = ∂u(x)/∂x1、u2(x) = ∂u(x)/∂x2である。ｘがn次元ベクトル、x = (x1,x2,...,xn)の場合もまったく同様だ。

・2番目の問、３番目の問は同じことだ。上で得た結果においてｔ＝０と置けばよい。

（１変数の関数f(x)のｘ＝０のときの微分係数f'(0)を求めるには、まず導関数f'(x)を求め、x=0を代入すれば、f'(0)が得られるのと同じことだ。）
この問題は経済学の問題だが、数学の多変数関数の微分の問題だ。「数学のカテゴリー」に問題を提出することをお勧めする。たくさんの回答者がやさしく説明してくれるよ。

お礼

ありがとうございます。
なんとなくですが、理解できました