最適化の十分性についての証明について

質問

効用最大化問題において、以下の定理の証明が記述されています。

Theorem 1.4: Sufficiency of Consumer's First-Order Conditions
Suppose that u(x) is continuous and quasiconcave on Rn+, and that (P,y)>>0.
If u is differentiable at x*, and (x*,λ*)>>0 solves ∂L/∂xn=∂u(X*)/∂xn-λ*pn=0, then x* solves the consumer's maximisation problem at price P and income y.

Proof : We shall employ the fact that you are asked to prove in Exercise1.28: For all x, x1>=0, because u is quasiconcave, ∇u(x)(x1-x)>=0 whenever u(x1)>=u(x) and u is differentiable at x.

ここで、問題なのが、Exercise1.28の証明を援用していることで、このExercise1.28がわかりません。

Exercise1.28
In the proof of Theorem 1.4 we use the fact that if u(・) is quasiconcave and differentiable at x and u(y)>=u(x), then ∇u(x)(y-x)>=0.
Prove this fact in the following two steps.
(a)Prove that if u(x)>=u(y) the quasiconcave of u(・) and its differentiable at x imply that the derivative of u((1-t)x+ty) with respect to t must be non-negative at t=0.
(b)Compute the derivative of u((1-t)x+ty) with respect to t evaluated at t=0 and show that it is ∇u(x)(y-x).

書いている内容はわかりますが
1. u((1-t)x+ty)のtについての導関数が分からない
2. t=0のときの、u((1-t)x+ty)のtについての導関数が分からない
3. t=0のとき、∇u(x)(y-x)となるのががわからない
どなたか、Exercise1.28の(a)(b)を詳しく教えていただけないでしょうか？
u((1-t)x+ty)のtについての導関数だけでも教えていただけないしょうか

回答No.2

c0nfus1an1sm · ベストアンサー

No.1 です．

＞合成関数u(z(t)) のt微分を考えたとき、
＞∂u/∂t=(∂u/∂z)*(∂z/∂t)
＞なのですが、これで、表現することは可能なのでしょうか？

今 z がベクトルなので，∂u/∂z と書いてしまうと混乱します．正確には，
・u が１変数関数 u(z) で，zがさらにtに依存するのときは，おっしゃるとおり
　du/dt = (du/dz)*(dz/dt)
・一般に多変数関数 u(z1, z2, ...) で，各変数がtに依存するときは，合成関数の微分公式は
　du/dt = (∂u/∂z1)*(d(z1)/dt) + (∂u/∂z2)*(d(z2)/dt) + ...
　となります．この右辺は２つのベクトル
　　∇u = (∂u/∂z1, ∂u/∂z2, ...)
　　dz/dt = (d(z1)/dt, d(z2)/dt), ...)
　の内積になっているので，
　　du/dt = ∇u*(dz/dt)
　と書ける，というのが式(A)の意味です．

　ここで∇u というベクトル（u の gradient）が導入されていますが，流儀によっては ∇u = ∂u/∂z とも書くので，
この意味で認識されていれば，∂u/∂t=(∂u/∂z)*(∂z/∂t) は正しい式です．

お礼

詳しい説明ありがとうございますm(__)m
ようやく理解できました
本当にありがとうございました

回答No.1

c0nfus1an1sm

１．u((1-t)x+ty)のtについての導関数
まず説明のためにuの引数をz(t) = (1-t)*x + t*yと書き直します．実数 tに依存するベクトル z(t) が与えられた時の u(z(t)) のt微分は，合成関数の微分公式を思い出すと，
　(d/dt) u(z(t)) = ∇u(z(t))*(dz(t)/dt) ---(A)
です．いまz(t) = (1-t)*x + t*yを考えるので，
　d(z(t))/dt = y-x
となります． これを(A)に代入すれば，u((1-t)x+ty)のt微分は
　 ∇u((1-t)x+ty)*(y-x). ---(B)

２．３．t=0のときの、u((1-t)x+ty)のtについての導関数は，(B)でt=0とすればよいので
　∇u(x)*(y-x). ---(C)
これが問題(b)の結論になります．

多変数関数の微分公式については例えば以下のリンクに詳解されているので必要ならご覧ください．
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~higashij/lecture/modern04/henbibun.pdf

補足

説明文の中で、
＞u(z(t)) のt微分は，合成関数の微分公式を思い出すと，
＞(d/dt) u(z(t)) = ∇u(z(t))*(dz(t)/dt) ---(A)
＞です．いまz(t) = (1-t)*x + t*yを考えるので，
＞d(z(t))/dt = y-x
＞となります． これを(A)に代入すれば，u((1-t)x+ty)のt微分は
＞∇u((1-t)x+ty)*(y-x). ---(B)
と、ありますが、私の頭のレベルでは、合成関数の微分は、
合成関数u(z(t)) のt微分を考えたとき、
∂u/∂t=(∂u/∂z)*(∂z/∂t)
なのですが、これで、表現することは可能なのでしょうか？