実数値行列関数とは一体なに?

質問

詳しい方よろしくお願い致します。

某書籍にreal valued matrix functionについて

Let f be a differentiable real valued matrix function on M_n^{s,+}.
Define the gradient of the function f, with respect to a matrix A=(a_ij)∈M_n^{s,+},
as ∂f/∂A:=(∂f(A)/∂a_ij).
(但し,M_n^{s,+}はn×nのpositive definite symmetric matriciesの集合)

と定義されてたのですがいまいちよく分かりせん。

M_n^{s,+}の元は実行列でfはM_n^{s,+}からRへの写像なのでしょうか?
それともM_n^{s,+}からM_n^{s,+}への写像なのでしょうか?
写像fの定義域と値域が何なのかはっきりしません。

どうやらAは変数の役割をしているようなので

Let f be a differentiable real valued matrix function on M_n^{s,+}.
Define the gradient of the function f, with respect to a matrix X=(x_ij)∈M_n^{s,+},
as ∂f/∂X:=(∂f(X)/∂x_ij).

と変数らしくXとx_ijで書き改めてみました。
それでもってX∈{(x_ij)∈M_n^{s,+};x_ijは実変数}なので
gradient (∂f(X)/∂x_ij)は何を意味するかというと,

もし,f(X)の値域がRなら行列(∂f(X)/∂x_ij)はn×n行列で
f(X)の値域がM_n^{s,+}なら,行列(∂f(X)/∂x_ij)はn^2×n^2行列になるのでしょうか?

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

"real valued matrix function" と書いてあるでしょう？
素直に字句どおり受けとめれば、
real を値に持つ、matrix の関数ということです。
値域が実数、定義域は行列です。

n 次正方行列全体は、n×n 次ベクトル空間を成します。
だから、f を n×n 変数の多変数実関数と見ると、
f の gradient も n×n 次元のベクトルです。
質問の英文が言っているのは、そういう話です。

お礼

どうも有難うございます。

回答No.2

noname#171951

detとかtrとかがfの例。

ファインマンは抽象的な概念がでてきたら
何か例を考えてイメージするようにしてたっ
て言ってましたっけ。

お礼

どうも有難うございます。

回答No.1

Tacosan

本当はほかのところも見て総合的に判断すべきなんだろうけど, 値域は実数でしょう.

お礼

どうも有難うございます。