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非対称行列の固有値と正定値性について
画像にあるように、非対称な行列について質問があります。 ある英語の本の問題で、画像に書いてある行列について以下のような問があります。 Is the matrix positive definite? (これは正定値行列ですか？） 正定値行列がわからなかったので、調べたのですが、普通は対称行列に対して求めるもので、非対称な行列に対してそもそも取り扱われていないようでした。 また、正定値行列は固有値が全て正であるとのことだったのですが、この行列の固有値を求めたところ、複素数が出てきました。 これって正定値行列かどうか、判定することができるのでしょうか？
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No.3のエルミート行列の下りは間違い nを2以上の整数とし Aをn次エルミート行列とし xをn次複素列ベクトルとする (任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする) 零ベクトルでない任意のxについて S=x^*・A・x が正であるときAを正値であるという Aが正値⇄Aの実数部行列が正値 は成り立たない 従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある 従って修正版としては後半を除いて以下の通り nを2以上の整数とし Aをn次実行列とし xをn次実列ベクトルとする (任意の行列XについてX^TをXの転置とする) 零ベクトルでない任意のxについて S=x^T・A・x が正であるときAを正値であるという S=S^Tなので S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2 であるから Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値 M=(A+A^T)/2 は実対称行列であるから 行列が正値であるかどうかを判定するには その行列を対称化した行列により判定すればよい （行列Aの対称化行列とは(A+A^T)/2のことである） 従って実非対称正方行列の正値性は 実対称行列の正値性の拡張としてあまり役に立たない 今回の場合 √2・M=√2・(A+A^T)/2= [1 0] [0 1] でありMの固有値は1/√2であり正であるから 与行列は正値である
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- alice_44
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ああ、そうか。 エルミート行列は、(対角でない限り)非対称ですね。 これは一本取られた。 行列の正値性は、対称行列ではなく、 エルミート行列に限って定義しなくては。 実エルミートなら、対称ですからね。 しかし、依然として、 非エルミート行列を係数とする二次型式が正値であっても、 その行列を「正値行列」と呼ぶべきでないことは変わりません。
お礼
遅くなりましたが、回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
二次形式を、一旦二次多項式に展開してから、 対称行列を係数に持つように書き直せば、 二次形式が正値か否かは議論できます。 axx+bxy+cyy なら、 a b/2 b/2 c を係数行列とすればいい。 実対称行列の固有値は実数だけですから、 書き直した行列の固有値に虚数は出てきません。 その固有値が全て正であることが二次形式が正値であることの、 正と 0 であることが半正値であることの、必要十分条件です。 しかし、非対称行列 A を係数とする二次形式が正値だったとしても、 A 自身が正でない固有値を持つ場合、 「行列 A が正値」とは言いません。 ただ「二次形式 xAx が正値」であるだけです。 両者は異なる話です。
- reiman
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nを2以上の整数とし Aをn次実行列とし xをn次実列ベクトルとする (任意の行列XについてX^TをXの転置とする) 零ベクトルでない任意のxについて S=x^T・A・x が正であるときAを正値であるという S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2 であるから Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値 M=(A+A^T)/2 は実対称行列であるから 行列が正値であるかどうかを論ずるときには 実対称行列だけを議論の対象にすればよい 今回の場合 √2・M= [1 0] [0 1] でありMの固有値は1/√2であり正であるから 与行列は正値である nを2以上の整数とし Aをn次エルミート行列とし xをn次複素列ベクトルとする (任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする) 零ベクトルでない任意のxについて S=x^*・A・x が正であるときAを正値であるという Aが正値⇄Aの実数部行列が正値 であることは簡単に示すことができる 以上まとめて 行列が正値であるかどうかを論ずるときには エルミート行列や対称でない実正方行列を考えることは意味が無く 実対称行列だけを議論の対象にすればよい
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
nを整数とし Aをn次実行列とし xを実列ベクトルとする (*^Tを*の転置とする) 零ベクトルでない任意のxについて S=x^T・A・x が正であるときAを正値であるという S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2 であるから Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値 M=(A+A^T)/2 は実対称行列であるから 行列が正値であるかどうかを論ずるときには 実対称行列だけを議論の対象にすればよい 今回の場合 √2・M= [1 0] [0 1] でありMの固有値は1/√2であり正であるから 与行列は正値である
- Tacosan
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その本で「正定値行列は固有値が全て正」としているなら, その行列は「正定値じゃない」ということになるのではないかなぁ. もちろん, 「実は問題が間違っている」という可能性もある.
お礼
遅くなりましたが、回答ありがとうございました。 今回は二次でしたので、xをx1,x2として計算しSがかならず正になる式だとしてこの問題に対して解答しました。