dy(x)/dx = {x^2 -(y(x

質問

dy(x)/dx = {x^2 -(y(x))^2}/xy(x)の解き方を出来れば教えてください

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足について

>4log|x|+log|1-u√2|+log|1+u√2|=定数'
ですよね
>定数'がlog(c)となるのは何故ですか？
「となる」のではなく「とおく」です。そうすることで
先の計算式が簡単になるように「とおく」のです。

定数は後の表現が簡単になるようにおいても何ら差支え無いでしょう。
分からなければ定数の置き換えを繰り返せば同じことになります。
仮に、定数=c1とおくと
4log|x|+log|1-u√2|+log|1+u√2|=c1
log(|x|^4)+log|(1-u√2)(1+u√2)|=c1=log(e^c1)
log{x^4*|1-(u√2)^2|}=log(e^c1)
ここで、定数の項をe^c1=c(>0)とおくと
log{x^4*|1-2u^2|}=log(c)　←定数がlog(c)になるなら
　　　　　　　　　　　　　これを見越して定数を最初から
　　　　　　　　　　　　　log(c)とおいて構わない。
対数と底が等しいなら真数も等しいから
x^4*|1-2u^2|=c (>0)
x^2*|x^2-2(xu)^2|=c(>0)←このように定数cが簡単になる。
　…
と続きます。

お分かりでしょうか？

お礼

ようやく分かりました
c1が取りうる値の集合とlog(c)が取りうる値の集合が1対1対応の時は置いても構わないんですね
詳しくありがとうございました

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足質問について

>y=uxと置くのには何かコツがあるのでしょうか？
変数分離型の微分方程式で使われる定石の置換法ですので覚えておきましょう。

>log|x|=-(log|1-u√2|+log|1+u√2|)/4 +定数
4log|x|+(log|1-u√2|+log|1+u√2|)}=log(c)
log(x^2*|x^2-2(ux)^2|)=log(c)(c>0)
ux=yを代入して
log(x^2*|x^2-2y^2|)=log(c)
x^2*(x^2-2y^2)=±c(c>0)
±c(c>0)を改めてc(任意定数,c≠0)で置き換えると

x^2*(x^2-2y^2)=c(任意定数,c≠0)
または
2y^2=x^2-(c/x^2)（cはゼロでない任意定数)
これ↑が微分方程式の答えになります。

補足

大体理解することが出来ました
しかし
log|x|=-(log|1-u√2|+log|1+u√2|)/4 +定数
が
4log|x|+(log|1-u√2|+log|1+u√2|)}=log(c)
となるのが分かりません
log|x|=-(log|1-u√2|+log|1+u√2|)/4 +定数
4log|x|=-(log|1-u√2|+log|1+u√2|) +定数'
4log|x|+log|1-u√2|+log|1+u√2|=定数'
ですよね
定数'がlog(c)となるのは何故ですか？

回答No.1

info22_

dy/dx=(x^2-y^2)/(xy)=(x/y)-(y/x)
y=uxとおくと
xdu/dx+u=(1/u)-u
xdu/dx=(1/u)-2u=(1-2u^2)/u
du*u/(1-2u^2)=dx/x
変数分離出来たので、後は左辺を部分分数分解したのち、
両辺を積分すれば良いでしょう。

求めた結果の式にu=y/xを代入して式を整理すれば良いです。

お礼

回答ありがとうございました
y=uxと置くのには何かコツがあるのでしょうか？

補足

log|x|=-(log|1-u√2|+log|1+u√2|)/4 +定数
になったんですがこれは収集がつくのでしょうか？