積分 級数

質問

画像の答えの導出を教えてください。
(1)は平均値の定理を使用してみましたがうまくいきませんでした.

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

(1)
f は単調増加なので、k ≦ x ≦ k+1 の範囲で f(k) ≦ f(x) ≦ f(k+1)。
この式を k ≦ x ≦ k+1 の区間で積分すると、f(k) ≦ ∫[k～k+1]f(x)dx ≦ f(k+1)。
この式を k = 1, 2, …, n-1 について総和すると、与式となる。

(2)
(1)の式を変形して、f(1) + F(n) ≦ f(1) + f(2) + … + f(n) ≦ F(n) + f(n)。
f(x) > 0 より F(n) > 0 だから、式を F(n) で割って、
1 + f(1)/F(n) ≦ { f(1) + f(2) + … + f(n) }/F(n) ≦ 1 + f(n)/F(n)。
ここで n→∞ の極限をとれば、ハサミウチの原理により、
1 ≦ 1 + lim[n→∞]f(1)/F(n) ≦ lim[n→∞]{ f(1) + f(2) + … + f(n) }/F(n)
≦ 1 + lim[n→∞]f(n)/F(n) = 1。
すなわち、lim[n→∞]{ f(1) + f(2) + … + f(n) }/F(n) = 1。

お礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#177719

階段状に関数を近似してやれば解けます。
例えば、n-1≦x<nをf(n-1)と近似したときとf(n)と近似したときの∫f(x)dxとの大小関係を考える。

回答No.1

Tacosan

n=2 のときを証明してみてください.