積分

質問

ｆは[0、∞）上の連続関数limｆ（ｘ）＝１を」満たしているものとする。
　　　　　　　　　　　　　　x→∞
このとき
lim　　α∫ｅ∧(-αx)f(x)dx=1
α→+0　(0→∞)

を示せ。ヒントあるいは使用する定理を教えてください。

回答No.1

31415926 · ベストアンサー

y=αxとおくと
与式= lim ∫e^{-y}f(y/α)dy
(積分は0から∞まで)となる．
f(x)の最大値をMとして
右辺の積分を
0から√αまで行うと√αM以下
またαが充分に小さいときに
右辺の積分を√αから∞まで行うと
e^{-√α}に充分近くなる．
(ここは詳しい計算は略しました)
するとα→+0のとき積分→1がわかる．
(正確にはε-δ論法を使って議論する)

こんな感じでどうでしょうか？

お礼

どうもありがとうございました。