ベストアンサー 積分 2005/07/05 17:32 ｆは[0、∞）上の連続関数limｆ（ｘ）＝１を」満たしているものとする。 x→∞ このとき lim α∫ｅ∧(-αx)f(x)dx=1 α→+0 (0→∞) を示せ。ヒントあるいは使用する定理を教えてください。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー 31415926 ベストアンサー率71% (28/39) 2005/07/05 21:38 回答No.1 y=αxとおくと 与式= lim ∫e^{-y}f(y/α)dy (積分は0から∞まで)となる． f(x)の最大値をMとして 右辺の積分を 0から√αまで行うと√αM以下 またαが充分に小さいときに 右辺の積分を√αから∞まで行うと e^{-√α}に充分近くなる． (ここは詳しい計算は略しました) するとα→+0のとき積分→1がわかる． (正確にはε-δ論法を使って議論する) こんな感じでどうでしょうか？ 質問者 お礼 2006/02/14 16:35 どうもありがとうございました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 広義積分だと思います。 f(x)を[0,+∞)上で定義された正値連続関数とします。 lim f(x)/x (x→+∞)が有限確定値として存在するとき ∫[0,+∞] dx/f(X) = +∞ が成り立つことを示したいのですが 具体的にf(X)に一次以下の関数を入れてみると成り立つことはイメージできるのですが証明を一体どのようにしていけばいいか分かりません。 どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。 積分の問題 積分の問題 ρ(x)={ e^(-1/(1-x^2)) |x| < 1 { 0 |x|≧1 という関数の積分 ∫[-∞,∞] ρ(x)dx を求めたいのですが、置換等をしてもうまくいきません。 これは留数定理を使って解くのでしょうか？ どなたかヒントを教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いします。 広義積分可能についてです。 f(x)は(a，b)で連続とします。 このとき(a，b)で広義積分可能かということを考えるときは a＜c＜bとなるすべてのcに対して lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxと lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx を考えますよね。 lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxを考えるとき [a+ε，c]でf(x)は連続よりf(x)は有界 よって[a+ε，c]上すべてのxに対して|f(x)|≦Mとなる定数M>0が存在する よって lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx ≦lim(→0)∫(a+ε～c)Mdx =lim(→0)M(a+ε-c) =M(a-c) となるため lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx は存在する lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx についても同様に考えられるため広義積分可能 この解釈は合ってるでしょうか？ 誤っている場合は解説をよろしくお願い致します。 初歩的なことで申し訳ありません… 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 微積分学の基本定理 微積分学の基本定理 ｆ（ｘ）はα≦ｘ≦βで連続とし、a,xを、α＜a<β、α＜ｘ＜βを満たす実数とするとき、xの関数∫（a～ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔはｘで微分可能で、（ｄ／ｄｘ）∫（a～ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ） （質問内容） (1)なぜｘで微分可能といえるのでしょうか?（連続ならば、微分可能ではないのでは？） (2)この後の記述で、＜この定理は、ｆ（ｘ）を積分した関数を微分すると、またｆ（ｘ）になるということを述べている。＞ とあるのですが、ｆ（ｔ）をｔで積分しているのではないでしょうか？ 中間値の定理 実数a、bに対して連続関数f(x)が lim[x→1]f(x)/(x-1)=a、lim[x→2]f(x)/(x-2)=b を満たしている ab＞0であるとき、1≦x≦2の範囲で方程式f(x)=0は少なくとも3個の解を持つことを中間値の定理を用いて示せ 示し方やヒントなどを教えてください この積分の証明はできますか？ f(x)が偶関数もしくは奇関数のとき、 integral[0～∞]f(x)e^(-x)dx=(1/2)integral[-∞～∞]f(x)e^(-x)dx は成り立ちますか？ よろしくお願いします。 微分と積分の関係 実数全体で定義された連続関数f（x）に対してg（x）を g（x）=∫【0→x】t*f（x-t）dt で定めます。このとき、g'（x）=∫【0→x】f（t ）dt となるそうなんですが、なぜこうなるのかわかりません。以下の定理を参考 にして教えてくださるとありがたいです。 【微分積分の基本定理】 関数F（x）=∫【a→x】f（t）dt は微分可能であり、 (d/dx)F（x）=f（x） 積分の問題です 自然数ｎに対して、I(ｎ)=∫[0→1](x^n)(e^-x^2)dxについて lim[n→∞]nI(n)を求めよ.という問題です。答えはe^-1です。 平均値の定理や不等式を用いたのですがうまくいきません。 教えて下さい。 広義積分に関する問題 v(x)はx≧0上の正値の連続関数で、x≧0上の関数u(x)を、 u(x)=∫[0,x] v(t)dt で定義します。また、条件、 lim[x→∞] u(x)=∞ が成立するとします。このとき、実数値をとるパラメータaを含む広義積分 lim[R→∞] ∫[1,R] (u(x)^a)v(x) dx の収束、発散を調べよという問題なのですが、方針がまったく立ちません。 どなたか、ヒントもしくは、アドバイスを頂けないでしょうか？ よろしくお願いします。 積分 ∫(0→∞)e^(-x^2)dxと言う積分をしたいんですが、どうしたら良いか分かりません。この関数には特異点がないので、留数定理などを用いれないので、どう置換していいのか分かりません。教えて下さい!! 積分の応用 f(x)は0≦x≦1で連続な関数で∮(0→1) (1－x)f(x)dx=0が成り立つとする。このとき、∮(0→a) f(x)dx=0(0<a<1)であるようなaが存在することを示せ。 お願いします。 ルベーグ積分の質問です。 (1)f,gをE∈Md上で0≦f≦gを満たす可測関数とするとき ∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dxを示せ。 (2)f,gをE∈Md上でf≦gを満たす可積分関数とするとき ∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dxを示せ。 これはどのように示せばいいのでしょうか？ 定義から0≦s≦f(あるいはg)を満たす単関数を取って、 それのsupを取ったとしても常に不等式が成り立つかどうか、 少しわからないところがあります。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 全微分可能なら… 一変数関数f(x)について、全微分可能なとき、 f’(x)は連続と言えるのでしょうか？ f(x)が全微分可能なとき、f(x+dx)-f(x)=f’(x)dxが成り立つから、 lim[h→0]f’(x+h)dx=lim[h→0]f(x+dx+h)-f(x+h)= =f(x+dx)-f(x) (←y=f(x)は微分可能なので連続だから) =f’(x)dx となって、f’(x)が連続ということになってしまうんですが、 そんなこと聞いたことがないので、たぶん、 僕の証明がおかしいのだと思うのですが、 僕の証明のどこが間違っているのでしょうか？ 微分の定義 問 関数f(x)がx=aにおいて微分可能ならば,f(x)はx=aに おいて連続であることを証明せよ。 疑問点 lim{f(a+h)-f(a)} h-0 =lim【〔{f(a+h)-f(a)}/h]×h】 h-0 =f’(a)×0・・・(1) よって、limf(a+h)=f(a)・・・(2)が成り立つから連続 であることが証明できる。 について、(1)からなぜ(2)であるといえるのかがわから ないのです。あと、(2)が連続の定義と考えていいんで すよね。 積分計算 D=(-∞,∞)上で定義される非負な関数f(x)が a)∫[-∞,∞]f(x)dx=1 b)∫[-∞,∞]x・f(x)dx=0 c)∫[-∞,∞](x^4)・f(x)dx<∞ を満たすとする。 k=2,3のとき-∞<∫[-∞,∞](x^k)・f(x)dx<∞を満たすことを示せ。 という問題なのですが、全然うまくできません。部分積分なのかな・・・？とか思ったのですがうまくできません。ヒントや方針だけで結構ですので教えていただけませんでしょうか？ Re: f:[0,1]で連続関数,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)の証明での疑問 [問]fを[0,1]で連続な関数とする時,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)となる事を示せ。 という問題に取り組んでいます。 積分の平均値の定理「fが[a,b]で連続ならば∃c∈(a,b);∫[a～ b]f(x)dx=f(c)(b-a)」を使って下記のように解きました。 十分小さな正の数εでもって，[0，1－ε]，[1－ε，1]に積分区間を分けると， f(x^n)は連続なので，積分の平均値の定理から， ∫[0 to 1]f(x^n)dx ＝∫[0 to 1－ε]f(x^n)dx＋∫[1－εto 1]f(x^n)dx ＝(1－ε)f(α^n)＋εf(β^n) （0＜α＜1－ε＜β＜1） →(1-ε)f(0)+εf(0)=f(0) 然し,βはεに依存するので1未満だからといってβ^n→0とはそう簡単には言えないみたいなのです。 私としましてはεに依存してようが1未満なので必ずβ^n→0と思うのですが、、、 どのように解釈したらいいでしょうか? この計算は何か公式使ってるんでしょうか？ 確率統計の参考書を読んでいて積分の計算でわからないところがあります。 指数分布（連続型）の計算です。 確率密度f(x)= λe^(-λx) (0=<xの時)、f(x)= ０（x<0の時） ｘが-∞から∞のとき、f(x)= ０（x<0の時）なのでxが０から∞の時を考える。 ∫f(x)dx = ∫λe^(-λx) 上の式より、 a→∞の時、０からaまで積分するとすると、 lim∫λe^(-λx)dx =lim[e^(-λx)] lim∫λe^(-λx)dx =lim[e^(-λx)] ここの変形がわかりません。 普通に積分するなら、lim∫λe^(-λx)dx =lim[（λ/(-λx＋１)）e^(-λx＋１)] となるような気がしているのですが・・・。 定積分の問題 受験生です。偶関数、奇関数の性質を利用したりして式変形やってみてもなかなか答えが出ないので、質問させていただきます。 ヒントでも構いませんのでよろしくお願いします。 「以下の２つの条件を満たすとき、f(x)を求めよ。 ただし、f(x)は２次関数、g(x)は１次関数とする。 ・∫ from 0 to 1, f(x)g(x) dx =0 ・∫ from -1 to 1, f(x) dx =1 」 任意のg(x)となれば分かるのですが、どう考えたらよいのでしょうか？ 微積分 微積分 ある有界閉区間で定義された{f_n}が、全ての自然数nに対してf_n(x)はxの連続関数であり、その閉区間内の全ての点xで有限なlim[n→∞]f_n(x)=:F(x)が存在するものとする。このとき、F(x)はその区間で連続となる。これは 正しくない。その反例を挙げて下さい。 広義重積分の計算 広義重積分の計算 領域D = {(x,y)|0≦x≦y≦1}における関数、f(x,y) = x / ((x^2 + y^2)^1/2) の広義の重積分Vを求めよ。 という問題です。 原点で不連続になることが分かります。 解答には、lim{c→+0} ∫{c→1} ∫{0→y} f(x,y) dx dy と載っていました。 自分は先にyで積分した方法で解こうとしたのですが、以下で正しいでしょうか？ lim{x→+0} ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx xとyの両方が0の時に不連続になるので、x方向とy方向の両方を0に近づけたlimitを取らなければならないのではないかという疑問もあります。 そこのところがよく分かりませんので、よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
どうもありがとうございました。