積分

質問

積分の時に使う６分の1公式の証明を教えてください。
授業で導出過程を教えてもらえませんでした。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

∫[a→b](x - a)(x - b)dx
= ∫[a→b]{x^2 - (a + b)x + ab}dx
= [(1/3)x^3 - (1/2)(a + b)x^2 + abx][a→b]
= (1/3)(b^3 - a^3) - (1/2)(a + b)(b^2 - a^2) + ab(b - a)
= (1/6)(b - a){2(b^2 + ab + a^2) - 3(a + b)^2 + 6ab}
= (1/6)(b - a)(2b^2 + 2ab + 2a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2 + 6ab)
= (1/6)(b - a)(-a^2 + 2ab - b^2)
= (-1/6)(b - a)(b^2 - 2ab + a^2)
= (-1/6)(b - a)^3

お礼

丁寧な展開ありがとうございました。

回答No.4

gamma1854

詳しくかきましたが、まず、この「積分計算」は自分で処理できますか？そこが重要です。
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次に、「面積を求めよ」といわれたら、
p>0 のとき、a<b としてｘ軸との間の面積ゆえ、
∫[a~b]{0 - p(x-a)(x-b)}dx = (p/6)(b-a)^3,
p<0 では、
∫[a~b]{p(x-a)(x-b) - 0}dx = (-p/6)(b-a)^3,
となります。これらをまとめて１つの式で面積Ｓを表現すると、
S = (|p|/6)*(b-a)^3.
となるわけです。

お礼

積分の計算はできますが、図形的に捉えられていなかった為、このような勘違いをしてしまいました。

回答No.3

asuncion

＞pに絶対値がついたものを教えられたのですが、絶対値はつかないのですか？

定積分と面積の違いを理解できていますか？

お礼

すみません。
理解できていませんでした。

回答No.2

gamma1854

I = ∫[a~b] p(x-a)(x-b)dx の計算でしょうか？
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x-a = u とおきかえると、dx = du,
I = ∫[0~(b-a)] p*u*(a+u-b)du
= ∫[0~(b-a)] p*{u^2 - (b-a)u}du
= 【p*[u^3/3 - (b-a)*u^2/2】
= p*{(b-a)^3/3 - (b-a)^3/2}
= (-p/6)*{b - a}^3.

お礼

解答ありがとうございました。

補足

(-p/6)*{b - a}^3
とのことですが、pに絶対値がついたものを教えられたのですが、絶対値はつかないのですか？