数学の問題の解法を教えてください。

質問

sinθ+cosθ=t　とおくとき、sin^3θ+cos^3θをtで表すとどうなるか。

という問題です。お願いします。

回答No.2

Sat_H · ベストアンサー

うっかり学校の宿題を代わりに解いてしまうという危険があるので、今回はヒントだけにします。申し訳ないのですが、ご理解ください。

方針としては、sin^3θ+cos^3θは対称式なので、和sinθ+cosθと積sinθcosθとの2つ（基本対称式）であらわしていきます。

まずsinθcosθについてですが、
(sinθ+cosθ)^2=(sin^2θ+cos^2θ)+2sinθcosθより
t^2=1+2sinθcosθ
なので簡単にsinθcosθが求められます。

そして、
sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)^3-3sinθcosθ(sinθ+cosθ)なので、
あとはsinθ+cosθとsinθcosθに代入をするのです。

参考URL：

http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200701300005/

お礼

わかり易い解説本当にありがとうございました。

-(t^3)/2+3t/2ですね。

対称式の概念を思い出せば容易に解ける問題でした。
もう少し柔軟に、粘って考えていきたいと思います。
またお目にかかる事があれば、助言等よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)より、

sin^3θ + cos^3θ
= (sinθ + cosθ)(sin^2θ - sinθcosθ + cos^2θ)
= t(1 - sinθcosθ)
ここで、t^2 = sin^2θ + 2sinθcosθ + cos^2θ = 1 + 2sinθcosθより、
sinθcosθ = (t^2 - 1) / 2
∴sin^3θ + cos^3θ
= t{1 - (t^2 - 1) / 2}
= t(2 - t^2 + 1) / 2
= t(3 - t^2) / 2

お礼

ありがとうございました。