数学II 三角関数の問題について

質問

数学でどうしても分からない問題があったので質問させていただきます。

関数f(θ)=sin2θ+2(sinθ+cosθ)-1を考える。ただし、0≦θ≦πとする。

(1)f=sinθ+cosθとおくとき、f(θ)をtの式で表せ。(答え：t^2+2t-2)

(2)tのとりうる値の範囲を求めよ。
(解)t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)
　　　0≦θ≦πであるから、π/4≦θ+π/4≦5/4π
　　　ゆえに-1≦t≦√2

(解)の下から2番目の行から一番最後の行の過程がよく分かりません。
なぜπ/4≦θ+π/4≦5/4πだと-1≦t≦√2になるのでしょうか。
他の問題も参考にしたり教科書で調べたりしましたがどうしても分かりませんでした。
回答よろしくお願いします。

回答No.5

noname#157574

単位円をかいて変域に注意すればtの値は求まります。

お礼

回答ありがとうございました。
単位円でもやってみます。

回答No.4

NemurinekoNya

x = θ+π/4と置くと
0≦θ≦π → π/4≦x≦5/4π
√2sin(θ+π/4) = √2sinx (a)
で、(a)のグラフを書くと分かりますよ。
ちなみに、(a)は
x=(5/4)πの時が最小で　-1 (∵sin(5/4π) = -1/√2)
x=π/2の時が最大で √2 (∵sin(π/2) = 1)

お礼

回答ありがとうございました。
グラフでもできるんですね。

回答No.3

yyssaa

なぜπ/4≦θ+π/4≦5/4πだと-1≦t≦√2になるのでしょうか。
＞θ+π/4=5/4πでt=√2sin(θ+π/4)=-1
θ+π/4=１/2πでt=√2sin(θ+π/4)=√2です。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

それは、π/4 ≦ x ≦ (5/4)π のとき
-1/√2 ≦ sin x ≦ 1 であることが
解らないということだろうか。
y = sin x のグラフを思い出してみてはどうか。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

spring135

π/4≦θ+π/4≦5/4πを変域として

t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)

のグラフを描けば一目瞭然です。

グラフを描けないのであればこの問題を解く資格はありません。

お礼

回答ありがとうございました。