二次曲線変換問題

質問

二次曲線の標準形への変換問題 二次曲線
x^2-2xy+y^2+24x+8y-16=0
を標準形にして下さい。

という問題を投稿したら、ある方から以下のような解答がよせられました。
でも、この解答の意味がわかりません。
どなたか解説お願いします。

A=((1,-1),(-1,1))
X=(1,x,y)
A~=((1,-1,12),(-1,1,4),(12,4,-16))
とすると、
|A|=0
|A~|=-16²<0
rankA=1,rankA~=3

|A~|=-2p²=-16² よりp=8√2
したがって標準形は、
2x²+2・8√2y=0
x²+8√2y=0

また、この場合には-π/4の回転と平行移動(√2,2√2)でも、
y²+8√2x=0
が得られます。

という解答です。

行列と固有値を使った解法のようですが、あまりにもエレガントなので、その解法の意味をどなたか教えてください。

3×3行列の
A～の「～」の意味やその中の12,4,-16という成分がどこの数値から出されたのかが不明だし、rankを計算する意味や-2p^2の意味が全くわかりません。ご教授お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

A No.1 に、補足が来ていますね。

A No.2 にも書きましたが、B (= A~) を対角化するのは大変です。
型通り、A を対角化するのがよかろうと思います。

その際、(x,y) の直交変換 x = (u-v)/√2, y = (u+v)/√2 は
(x,y,z) に対する三次元の直交変換でもあり、
Q =
　　1/√2　　-1/√2　　0
　　1/√2　　1/√2　　0
　　0　　　　0　　　　1
と置いて、
B~ = (Q^-1)BQ =
　　0　　　　0　　　　8√2
　　0　　　　2　　　　-4√2
　　8√2　　-4√2　　-16
となります。主対角小行列に J が現れていますね。
B~ = (Q^-1)BQ ですから、|B~| = |Q^-1||B||Q| = |B| です。

二次曲線が放物線となるのは
J =
　　0　　　　0
　　0　　　　λ
すなわち
B~ =
　　0　　　　0　　　　p
　　0　　　　λ　　　　q
　　p　　　　q　　　　r
と書ける場合で、そのとき、二次曲線は
2pX + λY^2 + 2qY + r = 0 に変換されます。
X, Y を適当に平行移動すれば、λ(Y')^2 + 2p(X') = 0 です。

行列式を計算(第２行または第２列で余因子展開が楽)すると
|B~| = -λp^2 ですから、　　　　　　　　　　　　←[1]
先の結果と併せて、p^2 = -|B|/λ が求まります。
p の正負は、どうやって決めるんでしょうね？　　　　←[2]

質問の例では、λ = 2, p = 8√2 から、
標準形が 2(Y')^2 + 2(8√2)(X') = 0 になったのでした。

[1] を公式暗記するのは、ちょっとどーかと思うし、
[2] が釈然としません。
原式に x = (u-v)/√2, y = (u+v)/√2 を代入するほうが、
スッキリしているように思いますが…

回答No.2

alice_44

質問前半の解法での |A~| の扱いが解らなかったので、
調べていたのですが、やっぱりよく解りません。
A~ の固有値が何だかとてもキタナイ値になるので、
対角化を経由する計算は、途中でお手上げになります。

有心二次曲線の標準化での型どおりに
A の部分だけを対角化することを目指すと、
A の固有ベクトルを利用して
x = (u-v)/√2, y = (u+v)/√2 で直交変換する
ことになり、方程式は
(16√2)u + 2v^2 - (8√2)v　-　16　=　0
ヘ変換されます。

放物線の標準形は、y^2 = 4px と書く慣習ですから、
上式を整理して、(v - 2√2)^2 = 4(-2√2)(u - √2)。
これが、質問後半の解法です。

回答No.1

alice_44

X=(1,x,y) じゃなくて、
X=(x,y,1) じゃありませんか？
曲線の方程式を X(A~)(X^t)=0 (^t は転置)
と表したんですよね？
12 は 24x の係数の半分、4 は 8y の係数の半分です。
X(A~)(X^t) を展開してみれば、何を A~ と置いたのか
解ると思います。その上で…

|A| については、どこにでも書いてある、
有心二次曲線の分類です。
方程式の二次項だけ取り出した 二次形式 x^2-2xy+y^2 を
(x,y)A(x,y)^t と表す行列を A として、
|A| > 0 なら、楕円(虚楕円を含む)、
|A| < 0 なら、双曲線、
|A| = 0 なら、放物線を含む退化二次曲線
だと判ります。

|A| = 0 の場合に、
rank(A~) = 3 なら、放物線、
rank(A~) = 2 なら、二直線
rank(A~) = 1 なら、一直線
となるのです。

A~ を D = (P^-1)AP, D は対角行列, P は直交行列と
対角化して、方程式を YD(Y^t)=0, Y=XP と変形すれば、
その理由が解るはずです。

補足

この問題の場合、
x2-2xy+y^2だけを取り出して
A=
1...-1
-1...1
として
|A|=0だから放物線であることがわかります。
通常の解法は、以下のようにすると思います。
Aの固有値を求めて
λ=0,2です。
よってAは、
J=
0...0
0...2
に対角化できます。
次に対角化する行列Pを求めるにあたり
固有ベクトルを求める。(大きさ1にします)
λ=0に対して
(1/√2、1/√2)^t

紙面の都合で、列ベクトルなので行ベクトルの
転置ベクトル^tと記述しました。

λ=2に対して
(-1/√2、1/√2)^t

よって、変換行列は、
P=
1/√2...-1/√2
1/√2...1/√2

(x,y)^t=P(X,Y)^t
です。
成分で書くと、
x=(1/√2)(X-Y)
y=(1/√2)(X+Y)
です。

また、
x^2-2xy+y^2
=(x,y)A(x,y)^t
だから、
(x,y)^t=P(X,Y)^tを代入して

(X,Y)P^-1AP(X,Y)^t
=(X,Y)J(X,Y)^t
=2Y^2
になりました。X^2がなくなり、放物線であることがわかります。
あとは、残っている1次の項の
24xと8yに
x=(1/√2)(X-Y)
y=(1/√2)(X+Y)
を代入して、整理すると
(Y-2√2)^2+8√2(X-√2)=0
になるので、
標準形
y^2+8√2x=0
を(√2、2√2)平行移動して、

P^-1=
1/√2....1/√2
-1/√2...-1/√2
=
cosθ....-sinθ
sinθ.....cosθ

より、
θ=-π/4
です。以上より、
x^2-2xy+y^2+24x+8y-16=0
は、左に√2,下に2√2平行移動し、
原点の周りに右周りにπ/4回転させると
y^2+8√2x=0
になる。

以上が「通常の」解法ですよね。

ところが質問した解答は、
B=
1....-1....12
-1...1....4
12...4...-16
として
|B|=-256
2p^2=256
p=8√2
よって、
y^2+8√2x=0
としているじゃないですか！
この飛躍が不明です
題意の二次曲線は、一次の項も含めて、
(x,y,1)B(x,y,1)^t=0
で表されて、
対角化によって、
(X,Y,1)B～(X,Y,1)=0
という方になることは理解できます。
この時、
B～のrankが
3の時にのみ放物線になる根拠も教えて下さい。