ベクトルの問題

質問

Oを原点とする座標平面状の4点P1,P2,P3,P4で、条件
OP(n-1)ベクトル+OP(n+1)ベクトル=(3/2)OPnベクトル　(n=2,3)…(a)
を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)P1,P2が曲線xy=1上にあるとき、P3はこの曲線上にはないことを示せ。
(2)P1,P2,P3が円周x^2+y^2=1上にあるとき、P4もこの円周上にあることを示せ。

これに対する解答ですが、Pn(xn,yn)とおいて(a)から
x(n-1)+x(n+1)=(3/2)xnとyに関しても同様の式を得て、
P1,P2が曲線xy=1上にあるからx1・y1=1かつx2・y2=1が言えるとして
さらに(a)がn=2のときの式からx1とx2を消して
x3・y3=(13/4)-(3/2)(y1/y2+y2/y1)を得て、
y1とy2が同符号のとき相加相乗平均より、y1/y2+y2/y1≧2
x3・y3≦(1/4)＜1
さらにy1とy2が異符号のときy1/y2+y2/y1＜0
x3・y3=1+(9/4)-(3/2)(y1/y2+y2/y1)＞1
となり、P3はxy=1上にない　と言えますか？

また(2)も同様に式を使って(x4)^2+(y4)^2=1を得て示すのは解答として問題あるでしょうか？

回答No.2

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。
正しい解答だと思います。無駄の無い答案の書き方、相加相乗の適切な使い方など、
実力者ですね。

別解を示してみます。記号は、applEgate さんと同じです。

[解答]
（１）背理法で示す。3点P1, P2, P3 が曲線 xy=1 上にあるものとして矛盾を導く。

P1+P3=(3/2)P2 より、(x3, y3)=(1/2)(3x2-2x1, 3y2-2y1) となる。
x1・y1=1, x2・y2=1 より、
x3・y3=(1/4)(13-6(x1/x2+x2/x1))=1
x1/x2=t とおいて整理すると、2t^2-3t+2=0 ・・・（ア）
２次方程式（ア）の判別式は、9-16<0 となるので、
（ア）は実数解を持たない。
すなわち、P1, P2 が曲線上にあるとき、P3 は曲線上には存在しない。
（証明終わり）

お礼

どうもありがとうございます^o^
実力者なんて…！　テレます。
xy=1 上にあるものとして、判別式で矛盾を示すなんておもしろいですね。しかもx1/x2=tのようにわかりやすく改めて文字を置き直すなんて。
こういう問題は知識によって答え方の幅が広がりますね。

回答No.3

kkkk2222

大よそ、文字の表す意味は判ると思うので。
数式の羅列で判り難く成ってしまいました。
出来るだけ、説明を加えたいと思います。
誤植はないとは思いますが、全てＰＣ上で叩いたので。

条件より、
p1+p3=(3/2)p2 　＃１
p2+p4=(3/2)p3　　＃２

(1)
x1y1x2y2≠0　（これは割り算が無条件でＯＫと言う意味です。）

成分で表現して、
p1=(x1,y1),,,x1y1=1,,,x1=1/y1
p2=(x2,y2),,,x2y2=1,,,x2=1/y2

＃１を変形して、
p3=(3/2)p2-p1

成分に変換して、
(x3,y3)=((3/2)x2,(3/2)y2)-(x1,y1)

ｘ成分とｙ成分に分けて、
x3=(3/2)x2-x1
y3=(3/2)y2-y1

辺々を掛けて、
x3y3=(9/4)x2y2+x1y1-(3/2)(x2y1+x1y2)

x3y3=1 が成立するとして、矛盾が起きれば終了と。

1=(9/4)+1-(3/2)(x2y1+x1y2)
0=(9/4)-(3/2)(x2y1+x1y2)
0=3-2(x2y1+x1y2)
x2y1+x1y2=3/2 　（ここまで変形して置きます。）

x2とx1を消去して、

(y1/y2)+(y2/y1)=3/2　（この式に矛盾が起きればＯＫと。）

　　　＜場合わけ、＞

y1,y2>0　の時は、相加相乗より、
　　　(y1/y2)+(y2/y1)≧2　となって矛盾。

y1,y2<0　の時は、相加相乗を使用できるように変形して、
　　　(-y1/y2)+(-y2/y1)≧2
　　　(y1/y2)+(y2/y1)≦-2　となって矛盾。

y1y2<0　異符号の時は
　　　(y1/y2)＜0
　　　(y2/y1)＜0
　　　(y1/y2)+(y2/y1)＜0 となって矛盾。

＊最後の３行のみが、質問です。
＊異符号の時は、相加相乗を（使わない）のが要点です。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

質問文の方式とは、異なります。

(2)

円の特性を利用して、parameterT1,T2,T3,T4を使用します。
(x^2)+(y^2)=1
((cosT)^2)+((sinT)^2)=1

((cosT1)^2)+((sinT1)^2)=1
((cosT2)^2)+((sinT2)^2)=1
((cosT3)^2)+((sinT3)^2)=1
＜目標の式は　((cosT4)^2)+((sinT4)^2)=1 ＞
これが成立すれば終了ですが、式変形が遠回りになっているような、
気がします。

＃１を再記載して、
p1+p3=(3/2)p2

ｘ成分とｙ成分に分けて、
cosT1+cosT3=(3/2)cosT2
sinT1+sinT3=(3/2)sinT2

後に使用する形も書いて置きます。
cosT3={(3/2)cosT2-cosT1}　　＃３
sinT3={(3/2)sinT2-sinT1}　　　＃４
両辺を二乗して、辺々を加えますが、（計算は若干短縮です。）
1=(13/4)-3{cosT2cosT1+sinT2sinT1}
3{cosT2cosT1+sinT2sinT1}=(9/4)　　＃７
（これを最後に使います。）

＃２を再記載して、
p2+p4=(3/2)p3

ｘ成分とｙ成分に分けて、
cosT2+cosT4=(3/2)cosT3
sinT2+sinT4=(3/2)sinT3

cosT4={(3/2)cosT3-cosT2}　＃５
sinT4={(3/2)sinT3-sinT2}　　＃６

P=((cosT4)^2)+((sinT4)^2)　　＃５と＃６を代入して、
={{(3/2)cosT3-cosT2}^2+{{(3/2)sinT3-sinT2}^2}
　　＜計算は短縮しているので、確認して下さい＞
=(13/4)-3{cosT3cosT2+sinT3sinT2}
　　＜＃３と＃４を代入して＞
=(13/4)-3{{(3/2)cosT2-cosT1}cosT2+3{(3/2)sinT2-sinT1}sinT2}
　　＜計算は短縮します。＞
=(13/4)-(18/4)+3{cosT1cosT2+sinT1sinT2}
　　＜＃７を代入して＞
=(13/4)-(18/4)+(9/4)
=1

となって、完了です。

お礼

どうもありがとうございます^o^
時間はかかりましたが、わかりました。負のものにマイナスをかけてプラスに考えることができるんですね。(1)も(2)もいろんな考え方が勉強になりました！

回答No.1

abyss-sym

解答として何の問題もないと思います。
(2)に関しても、(x4)^2+(y4)^2=1を示せば、解答として適切だと思います。

お礼

どうもありがとうございます^o^
模範解答がひとつだけ載っていたのですが別のやり方だったので。