Ｏを原点とする座標平面上において

質問

2定点F(c,0)、F'(-c,0)からの距離の和が2a(ただしa＞c＞0)であるような点Pの軌跡をEとする
このときEの標準形はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である
F、F'からE上の任意の点PにおけるEの接線lにおろした垂線の足をそれぞれH1,H2とするとき、H1,H2はＯを中心とする定円周上にあることを示せ

解き方を教えてください

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

P(p,q)とすると

点PにおけるEの接線は

px/a^2+qy/b^2=1 (1)

点PがEの上にあるためには

p^2/a^2+q^2/b^2=1

すなわち

a^2q^2=b^2(a^2-p^2) (2)

FHはEの接線に垂直なので傾きはqa^2/pb^2

方程式は

y=(x-c)qa^2/pb^2 (3)

(1)、(3)の交点としてHの座標(X,Y)を求める。結果は

X=(a^2b^4p+q^2a^4c)/(p^2b^4+q^2a^4)

Y=qa^2b^2(a^2-pc)/(p^2b^4+q^2a^4)

>Ｏを中心とする定円周上

から

X^2+Y^2を計算しようと考える。

X^2+Y^2=[(a^2b^4p+q^2a^4c)^2+(qa^2b^2(a^2-pc))^2]/(p^2b^4+q^2a^4)^2

実際にやると計算力だけが頼り。

(2)およびa^2=b^2+c^2を用いて変形していく。q^2をうまく消すと見えてくる。

結果は

X^2+Y^2＝a^2b^4(a^4-p^2c^2)^2/b^4(a^4-p^2c^2)^2=a^2

つまり半径aの円（いわば楕円の外接円）上にある。

F'も同様。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.3

USB99

訂正
FHの延長線とF′Pの交点をQとおくとFH〃F'H′より△PFQは2等辺三角形
∴FH=HQ
後は変更なし

お礼

了解しました
回答ありがとうございました

回答No.2

USB99

FHの延長線上にFH=HQとなる点Qをおく。
FH〃F′H'より△QFPは2等辺三角形
定義より2a=PF+PF′=F′p+PQ=QF
ここでOF=OF′だからOH=1/2QF=aでー定
よってH,H′は円上にある