数3。極限

質問

半径kの円Ｏの周上に定点Aと同点Pがある。
点Aにおける円Ｏの接線とその接線に点Pから下ろした垂線との交点をHとする。
∠AOP=θ(θは孤度、Oは円Ｏの中心)
とおく。

1.AHをkとsinθの式で表せ。
2.PHをkとcosθの式で表せ。
3.limPH/AH2乗 を求めよ。
θ→0

よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

1. AH = k sinθ
2. PH = k(1-cosθ)　は、中学の範囲なので、
数III の質問としては、答えるまでもありません。

3. lim[θ→0] k(1-cosθ)/(k sinθ)^2 は、
数III の基本例題ですね。

分子分母に 1+cosθ を掛けて
k(1-cosθ)/(k sinθ)^2
= {k(1-cosθ)(1+cosθ)}/{k^2 (sinθ)^2 (1+cosθ)}
= {1-(cosθ)^2}/{k (sinθ)^2 (1+cosθ)}
= 1/{k (1+cosθ)}
より、
lim[θ→0] k(1-cosθ)/(k sinθ)^2
= 1/{k (1+cos0)}
= 1/(2k).

もう少し学習が進んで、平均値定理を習うと、
式中の sin, cos をテイラー展開するという
見通しのよい解法が出てくるのですが…
今は、これで。

回答No.2

spring135

点Oを原点とするｘｙ座標系を設定する。

点Aをx軸上にとっても一般性を失わない。

すなわち

A(k,0)

P(kcosθ,ksinθ)

H(k,ksinθ)

1.AHをkとsinθの式で表せ。

AH=ksinθ

2.PHをkとcosθの式で表せ。

PH=k-kcosθ

3.limPH/AH2乗 を求めよ。
θ→0

PH/AH^2=k(1-cosθ)/(ksinθ)^2=1/[k(1+cosθ)]

(sin^2θ=1-cos^2θ=(1+cosθ)(1+cosθ)を利用）

limPH/AH^2=lim[1/[k(1+cosθ)]]=1/(2k)
θ→0

回答No.1

Tacosan

ちょっとは考えたら?