2定点に至る距離の平方の和が一定

質問

2定点に至る距離の平方の和が一定な点の軌跡を求めよという問題で、直径と２定点の距離について2つわからないので質問します。
２定点A,Bに至る距離の平方の和が定量L^2に等しい。これが１つ目の疑問点ですが、なぜ２乗になっているかについて自分で考えたところ、6^2+3^2=45=(√45)^2、(√2)^2+(√3)^2=5=(√5)^2など√を使って２乗にできるから、L^2になっているかと思いました。
２定点A,Bに至る距離の平方の和が定量L^2に等しい点Pの軌跡は、Lを直径とする半円の弧の上の１点Kより直径の両端に至る２つの弦の長さX,Yを各半径とし、それぞれA,Bを中心とする２つの円の弧の交点Pを求めると、ABの中点Oを中心とし、OPを半径とする円の周である。証明は次に述べる。
まず、このP点が条件に適することは、半円角が直角であって、したがってピタゴラスの定理よりによりX^2+Y^2=L^2となるから明らかである。次にこの円周上に任意の1点Pをとれば、三角形の２辺の平方の和は、底辺への中線の平方と半底の平方との和の２倍に等しいという定理によって、PA^2+PB^2=2(OP^2+AO^2)となるが、OPは半径で変わらず、AOは固定しているから、これは定量である。けれどもこの円周外に1点Qをとれば、同じ定理により、
QA^2+QB^2=2(OQ^2+AO^2)となるから、Q点が(a)のように円内にあるときは、OQがOPよりも小さいから、QA^2+QB^2は前よりも減少し、またQが円外にあるときは、OQがOPよりも大きいから、増加する。ゆえに求める軌跡はこの円Oの周である。２つ目の疑問は、XとYが２定点A,Bまでの距離なら(b)から、L=ABとなり求める軌跡がABを直径とする円周になると思いました。本の　Lを直径とする半円の弧の上の１点Kより直径の両端に至る２つの弦の長さX,Yを各半径とし、それぞれA,Bを中心とする２つの円の弧の交点Pを求めると、　の部分からわからなくなり、図をかけませんでした。
どなたか、XとYが２定点A,Bまでの距離なら、X^2+Y^2=LではなくX^2+Y^2=L^2となる理由と、L=ABとならない理由の2つを教えてくださいお願いします。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

先ず
> ２定点A,Bに至る距離の平方の和が定量L^2に等しい点Pの軌跡は
で「L^2」と書いてあるのは、別に「定量K (>0)に等しい点Pの軌跡」でもいいけど、そうすると後の解説でひたすら√Kと書かないといけないのがわずらわしいのと、結局Kが正ならある正数Lを用いてK=L^2と書け、しかもそう書いておいた方があとで記述がわずらわしくないからそう書いてあるからで、全然本質的でない。

次に、二つめの疑問点としては、「２定点A,Bに至る距離の平方の和が定量L^2に等しい点Pの軌跡」という問題設定（これが問題設定）で、別にL=ABという制約はないからで、具体的に例えば

「長さ2だけ離れている二定点ABがある。この時PA^2 + PB^2 = 100 (=10^2)となる点Pの軌跡を求めよ」

とかいう問題を実際に解いてみると分るはず。この場合L=10、AB=2で、明らかにL≠AB。実際、この場合はABの中点を中心とする半径7の円になる。

解説はよく読むと確かにその通りなのだが、一旦Aを(-a,0), Bを(a,0)とおいて、PA^2 + PB^2 = L^2 となる点Pの軌跡を数式を使って『具体的に』『計算で』求めれば、イメージはつかめるはず。（この場合 L=2aとは限らない）

お礼

提示された例題でL≠ABで、ABの中点を中心とする半径7の円になり、(a)図のようになることが実感できました。ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

>…　添付図 (a) で、点 A, B が「円周外」に移動されて「円周角の定理」を適用できなくなっており、何を吟味したいのか、論点がわからなくなった…。

添付図 (a) にて、点 A, B が x 軸上にあり、点 O が原点、A (-a), B(+a) だとしよう。
「2 定点A,Bに至る距離の平方の和が定量 L^2 に等しい」点 P (x, y) を想定すると、題意は、
　(x+a)^2 + y^2 + (x-a)^2 +y^2 = L^2
となるだろう。
これにより、
　x^2 + y^2 = L^2/2 - a^2
が成立つから、L^2/2 - a^2 = r^2＞0 なら、
　x^2 + y^2 = r^2
が添付図 (a) に示されている円の方程式

… ということ？

お礼

計算をしくれてありがとうございます。

回答No.1

178-tall

添付図 (b) では、
　線分 L (両端 A, B、中心 O) を直径とする円周上に点 K をとると、
　「円周角の定理」　∠AOB = 180 度 = 2*(∠AKB)、つまり ∠AKB = 90 度
　が成立つ。
従って「Pythagoras の定理」により、
　|L|^2 = X^2 + Y^2
が成立。

ここまでは、異議なし。

ところが添付図 (a) で、点 A, B が「円周外」に移動されて「円周角の定理」を適用できなくなっており、何を吟味したいのか、論点がわからなくなった…。

お礼

お返事ありがとうございます。