2定点に至る距離の平方の和が一定
2定点に至る距離の平方の和が一定な点の軌跡を求めよという問題で、直径と２定点の距離について2つわからないので質問します。
２定点A,Bに至る距離の平方の和が定量L^2に等しい。これが１つ目の疑問点ですが、なぜ２乗になっているかについて自分で考えたところ、6^2+3^2=45=(√45)^2、(√2)^2+(√3)^2=5=(√5)^2など√を使って２乗にできるから、L^2になっているかと思いました。
２定点A,Bに至る距離の平方の和が定量L^2に等しい点Pの軌跡は、Lを直径とする半円の弧の上の１点Kより直径の両端に至る２つの弦の長さX,Yを各半径とし、それぞれA,Bを中心とする２つの円の弧の交点Pを求めると、ABの中点Oを中心とし、OPを半径とする円の周である。証明は次に述べる。
まず、このP点が条件に適することは、半円角が直角であって、したがってピタゴラスの定理よりによりX^2+Y^2=L^2となるから明らかである。次にこの円周上に任意の1点Pをとれば、三角形の２辺の平方の和は、底辺への中線の平方と半底の平方との和の２倍に等しいという定理によって、PA^2+PB^2=2(OP^2+AO^2)となるが、OPは半径で変わらず、AOは固定しているから、これは定量である。けれどもこの円周外に1点Qをとれば、同じ定理により、
QA^2+QB^2=2(OQ^2+AO^2)となるから、Q点が(a)のように円内にあるときは、OQがOPよりも小さいから、QA^2+QB^2は前よりも減少し、またQが円外にあるときは、OQがOPよりも大きいから、増加する。ゆえに求める軌跡はこの円Oの周である。２つ目の疑問は、XとYが２定点A,Bまでの距離なら(b)から、L=ABとなり求める軌跡がABを直径とする円周になると思いました。本の Lを直径とする半円の弧の上の１点Kより直径の両端に至る２つの弦の長さX,Yを各半径とし、それぞれA,Bを中心とする２つの円の弧の交点Pを求めると、 の部分からわからなくなり、図をかけませんでした。
どなたか、XとYが２定点A,Bまでの距離なら、X^2+Y^2=LではなくX^2+Y^2=L^2となる理由と、L=ABとならない理由の2つを教えてくださいお願いします。
お礼
ありがとうございます(^^♪ ⌒PHを各点を線分OH上の各点に対応させて、サイクロイドをゆっくりとイメージさせてみたら分かりました 物理のような難しさがありますね(・・)