半円の円弧が直径と等しくないことの説明お願いします

質問

中学のおうぎ形の面積の公式で、
　例１　円弧の長さ＝1/2lrというのがあります。
これは納得します。（納得するとします・・・）
でもこの考えを面積ではなく、半円の「円弧の長さ」を分割するのに使うと
　例２　「半円の円弧＝直径」に、限りなく近づいてしまいます。
なぜ例１に使えて、例２には使えないのでしょうか？
　中学生ぐらいのレベルの知識で説明していただけないでしょうか？
画像を添付してみます。
　よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

んーー・・・中学校の範囲で説明・・

とりあえず，例2と同じような現象は多々あります．

たとえば，正方形を書いて，対角線を引きましょう．
正方形の一辺の長さは1にします．
対角線の長さは「ルート2」です

正方形の左下の一頂点から，ちょっと右に進んで，次に上に進んで，
次に右に，上，右・・・と階段上に折れ線を引きましょう．
この折れ線の長さは・・・2なんですよね．
けど，この折れ線をどんどん細かくしていけば
折れ線自体は対角線になります．
けど，折れ線なら長さは2，対角線は長さ「ルート2」です．

これはどういうことでしょうか．

端的にいえば，
「図形として近づく」というのと
「長さが近づく」というのは
実はまったくの別物なんです．

「図形の長さ」（ただしい表現じゃないけど，誤解は招かないと思う）
というのは「図形の複雑さ」に依存するのであって
「図形の大雑把な大きさや形」にはそれほどは依存しないのです．

実は，正方形の中に，
すっぽり納まる「長さ無限大の周囲の長さをもつ図形」
というのが存在します．
この図形はたとえば「コッホ曲線」なんてのを
調べるとみつかります．

実はもっと変な図形もあって，「線」なんだけど，
領域を隙間なく満たすなんていうものも存在します．
これは「ドラゴン曲線」なんてものを調べてみてください．

例1の面積の場合は，
「図形として近づく」ものに「図形の大きさ」を示す面積で
考えているかうまくいく・・・くらいに考えてください．
＃実際は，もうちょっと複雑で，
＃大学で数学を勉強しないと理解はきっついです．

同じ状況は，立体で「体積」と「表面積」でも起こります．
つまり，どんどん立方体に近づく立体があるんだけど
表面積は近づかない，とか
一定の領域にすっぽり納まる，表面積は無限大になる立体とかです．

これは，人間の体の肺が表面積が大きくなる構造になってるとか
腸がものすごく長いとかいうことと同じです．
フォトニッククリスタルなんていう物体をしらべてみると
現実世界での応用がみつかるかもしれません．

お礼

コッホ曲線やドラゴン曲線、そしてフォトニッククリスタルとはどういうものなのかという興味も湧いてきました。
　でも今更私の知識で追いつけそうにありません。
いつか、より具体的な説明をしていただければより幸いです。
　さて、おっしゃっている、「直角三角形の斜辺がほかの2辺の和と等しくなる」という矛盾と、今回の「半円の円弧＝直径ではない」の証明の問題には共通点があると思います。

　私流につぎのような詭弁の解釈を試みました。
扇形の面積の公式での細分化した円弧の合計はいずれは1/2エルになると考えれる。なぜなら2等分、4等分、８当分、・・・1024等分・・・していくと、その円弧の合計は『両端が固定されていないので』、限りなく1/2エルに近づく。半円の円弧の半分（横の長さに相当）に巻いた紐（ひも）を引き伸ばすことに相当すると考えれるので。
　一方、半円の円弧を更に小さな半円の円弧の合計と見る場合、いつまでたっても、いくら小さく細分化しても合計は
計算上は等しくなる。結局細分化に意味がないことになる。

　中学生位のレベルとしての答えとしては、
紐（ひも）を用意して直径の真ん中をつまむと、その段階で
つまんだほうの長さのほうが長くなる。
（直角三角形の斜辺＜ほかの2辺の長さの和に相当）
例２の説明は、このつまんでできた紐の円弧が
大きな円弧にひとしいことを言っていることになる。
つまんだ時点で長さは長くなっているはず。
詭弁かもしれませんがここがそもそもの過ちの
原点の気がします。
　直角三角形の場合も同じように説明できると
思います。
　『両端が固定されている長さ（円の場合の直径や
直角三角形の対角線）』は
そもそも途中でつまんだら等しくなり得ない。ここから
話を進めていくと、なんとなく自分自身は納得してしまいました。
　今回はみなさんからいろいろなご回答いただき感謝しています。いろいろと考える機会をもたせていただきました。
ありがとうございました。

回答No.9

alice_44

例２が一致しないことは、長さを計算してしまえばすぐ判る。
中学生範囲で計算できるので、コッチは、むしろ簡単。
変な思い込みを排して、自分の計算を信じればソレで済む。
極限の形状なんて、図から想像できるもんじゃないから。

例１の計算がアレでよいことの説明のほうが、真に難しくて、
それこそ大学の解析をやらないと、ちゃんと理解はできない。
円の面積が長方形に近づくことは簡単だが、長方形の一辺が
半円周に等しいことの説明は、中学生範囲では、全く無理。
小学校で円の面積を教えるとき、安易にアノ図を使うことには、
教科書執筆者の良識を疑う。
騙されて納得してしまうことと、理解することは、異なる。

回答No.8

uyama33

円を二等辺三角形にして同様の議論ができます。

2つの性質をもつ対象に対して、一方の性質が同じなら、他方の性質も同じだと主張しているのが
間違いのもとだといえます。

直径10センチの風船と、直径10センチの鉛の玉では、体積は同じです。
体積が同じでも重さは別です。
中学生向けでは、重さと体積と言う2つの性質をもつものを考えてみると納得できるのではないでしょうか。

うるさく言えば、
長さと、2次元での外測度は別物です。

ともいえます。

回答No.7

system110

1円弧(360度)の長さは　２Πｒ　
⇒　２　x　パイ　ｘ　半径　
⇒　２　x　パイ　ｘ　１(半径を１とした場合)
⇒　２　x　パイ　
⇒　２Π

∴直径２の円弧（３６０度）の長さは　２Π

半円の円弧は上記の半分で、２Π÷２＝Π

言い換えると

直径２（半円では１となる）の半円の円弧（１８０度）は　Π　です

＞例２　「半円の円弧＝直径」に、限りなく近づいてしまいます。
間違いです

１円（３６０度）の円弧　：　直径　＝　２Π　：　２
半円（１８０度）の円弧　：　直径　＝　　Π　：　２

の関係です

直径が１（半径で1/２）なら
1円弧(360度)の長さは　２Πｒ　から　２ｘΠｘ１/２＝Π

回答No.6

shintaro-2

例１でやっているのは

　最初は半円の弧長さだったのを、90度の扇形、60度の扇形、30度の扇形の・・・・・・の孤とやっていき、
　だんだん扇形の角度が小さくなった時に、孤は直線と見なせる（比が１になる）という話です。

　例えば最初は弧がπｒ、弦は２ｒ
　90度なら弧はπr/2、弦はｒ√２
　60度なら孤はπｒ/3、弦はｒ　　　　と、孤と弦の比は段々小さくなっていきます。

それに対して
例２でやってしまった間違いは

　１）最初の半円を、直径が半分の半円に分割、それをさらに半分の直径の半円に分割・・・とやっていき、
　２）最後に直線と等しくなる
　　　　　　　という無理な近似をしてしまったことです。

　１）は作図の問題なのでOKなのですが、
　２）に無理があります。

　図を拡大すれば理解できますが、直径をどのように分割しようと、半円の円弧と直径とは
　いつまでたってもπｒと２ｒとのままで、比は変化しません。

回答No.5

USB99

実際に半円を描かせて、直径に垂直な線を均等な幅でたくさん描かせたらどうですか？

そうすると、円の端っこでは、円弧は立ってくるので、いくら直径の幅を狭くしてたくさんの線を描いても円弧の長さが直径の幅に近寄らないのが実感できるのでは？

逆に、円に接する正６角形、１２角形、２４角形を描かせて、その辺の長さが円弧の長さに近くなるのを実感させたらいかがですか？

回答No.3

staratras

ひとことで言えば「分割の方法がまったく異なる」からです。

例1はおうぎ形の中心角を細かく分割していますので、扇形は細分化すればするほど細長い三角形に限りなく近づきます。

例2は半円形の直径を小さくしているだけですので、いくら細かくしても半円形は半円形のままで形は変わりません。

添付した図で具体的に考えてみます。半径１の円があるとし円周率をπとすれば、半円形の円弧の長さは２π×１/２=πです。

これを１/2の円弧二つに分割した場合、円弧の長さの合計はπ×２×１/2=π　です。

１/4の円弧四つに分割した場合、円弧の長さの合計はπ/２×４×１/2=π　です。

１/8の円弧八つに分割した場合、円弧の長さの合計はπ/4×８×１/2=π　です。

どんなに多数の半円に分割してもこの円弧の合計はπで変わらず直径ABには近づきません。

回答No.2

umamimi

図の文字が殆ど読めないので推測で回答します。

＞なぜ例１に使えて、例２には使えないのでしょうか？

やってる事が違うからです。

例１は、
円弧の分割すると円弧の形が変わり、弦の長さとの差の合計が小さくなります。
従って分割数が多いほど円弧と直径の差が小さいのです。

が、例２は
同じ形のままサイズを小さくしているだけなので、何度繰り返しても
個々の半円は小さくなっても同じ形で存在し続け
「円弧長が直径に近づく」ことがありません。

なので
＞例２　「半円の円弧＝直径」に、限りなく近づいてしまいます。
はまちがいです、円弧長は細かくて目立たなくはなっても沿面距離として存在しつづけ、
全然近づいていません。

回答No.1

_julius

>例１　円弧の長さ＝1/2lrというのがあります。

そんな公式無いです。
あなたが冒頭で書いている様に，これは「おうぎ形の面積の公式」です。
正しくは，
おうぎ形の面積=1/2lr
です。

図では，円弧の長さがl（エル）と置かれているのでしょう？
で，半径がr。
だから，おうぎ形を分解して，長方形（ないし平行四辺形）に再構築すると，
横の長さが円弧の長さの半分，縦の長さが半径になりますから，
おうぎ形の面積=円弧の長さの半分x半径=1/2lr
ということです。

補足

早速の解答ありがとうございます。
「例１　円弧の長さ＝1/2lrというのがあります。」との文については、ご指摘の通り、半径r、円弧のながらlの「面積」のことです。私の投稿時の確認ミスです。改めて訂正させていただきます。ただ、質問はつぎの例２との兼ね合いですので、この質問について継続してお応えいただければと思います。恐縮ですが例２と例１での長さの極限の考え方の違いについてお応えいただければ幸いです。