５つの円弧が重なる部分の面積

質問

添付画像の図形についての問題です。
正五角形の一辺の長さは1です。
正五角形の各頂点を中心とした円弧が5つ描かれています。
黄色の部分に隣接する5つの丸い三角の面積の合計を求めるという問題です。
当方、ずっと考えていましたが解答の糸口も掴めないのでご質問いたします。

この問題の出題者は、中学までの知識で解けると仰っていたので
中学までの知識で解いていただけると助かります。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

BE＝(1+√5)/2
AF=2×√(1-(BE/2)^2)＝√(10-2√5)/2

ひし形ABFEの面積は、
ひし形ABFE＝BE×AF/2＝√(10+2√5)/4

AHFGで作られるレンズ形の面積は、
レンズ形AHFG＝扇形ABFA＋扇形AEFA－ひし形ABFE
＝2π/5－√(10+2√5)/4

ABGで作られるおにぎり形の面積は、
おにぎり形ABG＝π/3－√3/4

AGEで作られるいちょう形の面積は、
いちょう形AGE＝扇形ABHGE－おにぎり形ABG
＝3π/10－（π/3－√3/4）＝√3/4－π/30

AHGで作られる欠けたレンズ形の面積は、
欠けたレンズ形AHG＝おにぎり形ABG－いちょう形ABH
＝（π/3－√3/4）－（√3/4－π/30）＝11π/30－√3/2

FGHで作られる丸い三角形の面積は、
丸い三角形FGH＝レンズ形AHFG－欠けたレンズ形AHG
＝（2π/5－√(10+2√5)/4）－(11π/30－√3/2)＝π/30＋√3/2－√(10+2√5)/4

あとはこれを５倍すれば求める答えになります。

お礼

大変わかりやすい解説をありがとうございました。
意外と対角線BEを求めるのに手こずりました。
ついでに、黄色の面積を求めてみたんですが、今回求めた面積とニアリーイコールですね。

回答No.3

nag0720

＃２です。
画像が添付できなかったので、記号の位置を説明しておきます。

正五角形の上の頂点をAとし、反時計回りにB,C,D,Eとします。
黄色の五角形の左下をH、右下をG、その下に隣接する丸い三角形の下の点をFとします。
（FGHが丸い三角形の頂点になっています）

回答No.1

alice_44

どんな方法を採るにせよ、
正五角形の面積または対角線の長さを
求める必要がありそうだから、
三角比は使えないと辛いのではなかろうか。
三角比を使ってもよいなら…

図の曲線に全てハサミを入れると、
五角形は４種類の小図形に分割される。
図中４個の図形の面積がわかれば、
それらを小図形の面積の和で表して
連立一次方程式を解くことで、
黄色い部分を含む各小図形の面積がわかる。

正五角形
五角形の二辺と円弧ひとつからなる扇形
五角形の一辺と円弧ふたつからなるレンズ形の半分
円弧ふたつからなるレンズ形
の各面積は、求めることができる。

お礼

相似を使うと対角線の長さを求めることができるようです。
ありがとうございました。