定積分

質問

∫tan^4(θ)ｄθ 積分範囲は0からπ/2です。
解き方を教えてください

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

t = tanθ で置換してみる？
dt/dθ = (secθ)^2 = 1 + (tanθ)^2 から、

∫[0≦θ≦π/2] (tanθ)^4 dθ
= ∫[0≦t＜∞] (t^4)/(1+t^2) dt
= ∫[0≦t＜∞] { t^2 - 1 + 1/(1+t^2) }dt
= ∫[0≦t＜∞] { t^2 - 1 } dt + ∫[0≦t＜∞] { 1/(1+t^2) }dt

∫[0≦t＜∞] { 1/(1+t^2) }dt = π/2 が収束して
∫[0≦t＜∞] { t^2 - 1 } dt が +∞ 発散することから、
問題の積分は収束しない。

回答No.1

yyssaa

＞tan^4θ=sin^4θ/cos^4θ=(1-cos^2θ)^2/cos^4θ
=(1-2cos^2θ+cos^4)/cos^4θ
=1/cos^4θ-2/cos^2θ+1
として、1/cos^4θと1/cos^2θの積分は、下記サイトを参照するといいでしょう。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/example/sankakukansuu-exampke.html